Reflexiones del Ortocentro

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Nacho

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Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 30 Mar, 2013 3:19 pm

Sea [math] el ortocentro del triángulo [math]. Sea [math] la reflexión de [math] sobre la recta [math] e [math] la reflexión de [math] a través del punto medio de [math]. Luego, [math] e [math] pertenecen al circuncírculo de [math], y [math] es diámetro.

Reflexión a través de [math]
reflexHBC.png
Tomemos la altura desde [math] y continuemosla hasta la intersección con el circuncírculo. Llamemos a este punto [math]. Vamos a ver que [math].

Sea [math] el pie de la altura desde [math] sobre [math], y [math] el pie de la altura desde [math] sobre [math]. Tenemos que [math], ya que [math] y [math] son semejantes por tener un ángulo recto (el de las alturas con los lados) y a [math] en común.

Pero por arco capaz, tenemos que [math], de donde [math] es isósceles. Pero como [math] es altura del triángulo [math], al ser este isósceles también es mediana. Entonces [math].

Se puede concluir entonces que [math] es la reflexión de [math] por [math], de donde [math]. Y como [math] está en el circuncírculo, también lo debe estar [math]. [math]

Reflexión a través del punto medio
reflexHpuntomedio.png
Primero notemos que el punto [math] es único, ya que la reflexión es una transformación biyectiva. Luego, si un punto [math] sobre la recta [math] cumple que [math], tenemos que [math].

Ahora, sea [math] el punto diametralmente opuesto a [math]. Como [math] es un diámetro, vamos a tener, por arco capaz, que [math]. Además, tenemos que [math] es cíclico ya que [math], por ser [math] y [math] pies de las alturas. Luego, simplemente restando, tenemos que [math].

Como [math] es cíclico, tenemos que [math]. También, como [math] es cíclico, tenemos que [math], y [math] por ser opuestos por el vértice. Así obtenemos que [math].

Entonces, [math] es un paralelogramo, pues tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes. Puesto que es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en sus puntos medios, [math], es decir que [math] es la reflexión de [math] por [math]. Luego [math].

Así demostramos que [math] está sobre la circunferencia.

La colinealidad es trivial puesto que como [math], y [math] es el punto opuesto diametralmente a [math] estamos. [math]
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ricarlos
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Re: Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por ricarlos » Mar 02 Abr, 2013 9:49 am

Hola, estas conclusines tienen mucho que ver con los llamados "segmentos de Poncelet"

Aqui hay algo de eso http://www.emis.de/journals/DM/v13-1/art8.pdf
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 30 Mar, 2018 8:33 pm

Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente; en lo demás seguimos la notación anterior.


Primero, $A,H,X$ son colineales, pues tanto $A$ como $X$ están sobre la perpendicular a $BC$ por $H$.

Notemos que $E\widehat AD=B\widehat AC=\alpha$ sin importar si $\triangle ABC$ es acutángulo u obtusángulo (o bien $E$ y $D$ están sobre los segmentos $AB$ y $AC$ o los ángulos son opuestos por el vértice), como $A\widehat DH=A\widehat EH=90°$, tenemos que $ADHE$ es cíclico y por lo tanto $D\widehat HE=180°-\alpha =B\widehat HC$

Por ser la reflexión de $H$ por $BC$, $B\widehat XC=B\widehat HC=180°-\alpha$ y $CH=CX$.
Por ser la reflexión de $H$ por $M$, $HBYC$ es un paralelogramo y $B\widehat YC=B\widehat HC=180°-\alpha$.
Luego, $A,B,C,X,Y$ están sobre la circunscrita a $\triangle ABC$.

Como $HBYC$ es un paralelogramo, $BY=CH=CX$, entonces $X\widehat YC=B\widehat CY\Rightarrow XY\parallel BC\perp AX$, de donde $AY$ es diámetro de la circunscrita.
[math]

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