Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

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Ivan

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Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 03 May, 2013 6:13 pm

Este es un lema es bastante útil. En Argentina se lo conoce como lema de Shmerkin.

Sean [math] un triángulo y [math], [math], [math] puntos en los lados [math], [math], [math] respectivamente tales que [math], [math] y [math] concurren en un punto [math].

Entonces [math].
shmerkin.png
Si se usa en una prueba hay que enunciarlo y en lo posible (si uno conoce la demostración y tiene tiempo) demostrarlo.
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Ivan

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Re: Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 03 May, 2013 6:20 pm

Demostración:
Spoiler: mostrar
Una demostración posible es usando el teorema de Menelao.
Aplicándolo en [math] con la transversal [math] tenemos
[math]
Aplicándolo en [math] con la transversal [math] tenemos
[math]
Reescribimos las ecuaciones como [math] y [math] y las sumamos. Tenemos
[math]
Pero sacando factor común [math] y notando que [math] lo que nos queda es justamente
[math]
Comentarios: Hay una demostración usando razones de áreas, quizás después la posteo.
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usuario250

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Re: Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

Mensaje sin leer por usuario250 » Vie 03 May, 2013 11:07 pm

Fijarse que ap/pd = (área(apc)+área(apb))/área(bpc)
ae/ec=área(apb)/área(bpc)
af/fb=área(apc)/área(bpc)
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Re: Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 21 May, 2020 1:54 pm

(Segundo) Lema de Shmerkin

Sean $ABC$ un triángulo y $D$, $E$, $F$ puntos en los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente tales que $AD$, $BE$ y $CF$ concurren en un punto $P$.

Entonces $\frac{AP}{AD}=\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}$.

Demostración (Ivan)
Spoiler: mostrar
Una demostración posible es usando el teorema de Menelao.
Aplicándolo en $PBD$ con la transversal $AEC$ tenemos $$\frac{PA}{AD}\frac{DC}{CB}\frac{BE}{EP}=1$$ Aplicándolo en $PCD$ con la transversal $AFP$ tenemos $$\frac{PA}{AD}\frac{DB}{BC}\frac{CF}{FP}=1$$ Reescribimos las ecuaciones como $\frac{AP}{AD}\frac{DC}{BC}=\frac{EP}{EB}$ y $\frac{AP}{AD}\frac{DB}{BC}=\frac{FP}{FC}$ y las sumamos. Tenemos $$\frac{AP}{AD}\frac{CD}{BC}+\frac{AP}{AD}\frac{DB}{BC} =\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}$$ Pero sacando factor común $\frac{AP}{AD}$ y notando que $\frac{DC+DB}{BC}=1$ lo que nos queda es justamente $$\frac{AP}{AD} =\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}$$


OBS: En realidad, lo que hicimos fue cambiar el rol de los puntos $A$ y $P$.
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Re: Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 21 May, 2020 2:00 pm

(Tercer) Lema de Shmerkin

Sean $ABC$ un triángulo y $D$, $E$, $F$ puntos en los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente tales que $AD$, $BE$ y $CF$ concurren en un punto $P$.

Entonces $\frac{DP}{DA}+\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC} = 1$.

Demostración
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Trazando las alturas $H_D$ desde $P$ y $H_A$ desde $A$ hacia $BC$, vemos que $$\frac{DP}{DA} = \frac{PH_D}{AH_A} = \frac{2 PH_D \cdot BC}{2 A H_A \cdot BC}= \frac{ (BPC) } { (ABC) }$$

Sumando, vemos que $$\frac{DP}{DA}+\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC} = \frac{(ABC)}{(ABC)} = 1$$
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