Teorema de Nagel

[CarlPaul_153]

sea [math]ABC un triangulo acutángulo con circuncentro [math]O y [math]DEF su triángulo órtico. ([math]AD, [math]BE, y [math]CF son las alturas de [math]ABC). Entonces [math]OA, [math]OB, y [math]OC son perpendiculares a [math]EF, [math]DF, y [math]DE respectivamente.



Mi demostración (tiene pinta de tener muchísimas):

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Llamemos [math]P a la intersección de [math]FD y [math]OB, y sea [math]M el punto medio de [math]BC.
Es fácil ver que [math]ABC es semejante a [math]DBF (de hecho es una propiedad conocida del triángulo órtico)
Entonces, si en verdad [math]DF fuera perpendicular a [math]OB, entonces [math]DPB sería semejante a [math]EAB, y sabemos por ser [math]O el circuncentro que [math]DPB es semejante a [math]MOB. Por lo tanto, basta con demostrar que [math]MOB es semejante a [math]EAB.
el triángulo [math]OBD es isósceles y [math]B\widehat{O}C = 2B\widehat{A}C por ser ángulo central de la circunferencia.
Entonces la bisectriz [math]OM nos determina que [math]MOB es semejante a [math]EAB.
Análogamente demostramos que [math]OA y [math]OC son perpendiculares a [math]EF y [math]DE respectivamente.

De tarea : Determinar que sucede si el triángulo ABC es obtusángulo y porqué.

Fuente: http://www.gogeometry.com/problem/p138_ ... radius.htm

[Vladislao]

Dejo un comentario flotando:

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Nagel es un caso particular de dos triángulos ortológicos (mirar el Teorema de Carnot que anda en algún rincón del foro).

[Fran5]

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Conjugados isogonales y un par de angulitos