Lema de Geometría interesante

[3,14]

Sean dos circunferencias [math]\omega_1 y [math]\omega_2. [math]P y [math]Q son puntos pertenecientes a [math]\omega_1 y [math]R y [math]S puntos pertenecientes a [math]\omega_2. Se puede afirmar entonces que:
[math]P, Q, R, S son concínclicos sí y solo sí el punto [math]X=PQ\cap RS pertenece al eje radical de [math]\omega_1 y [math]\omega_2

Dejo la demostración de "tarea"

[Violeta]

Spoiler: mostrar

[math]P,Q,R,S son concíclicos sii [math]XP\cdot XQ = XR\cdot XS, pero [math]XP\cdot XQ y [math]XR\cdot XS son las potencias de [math]X con respecto a [math]\omega_1 y [math]\omega_2, respectivamente; esta igualdad de potencias pasa sii [math]X cae sobre el eje radical.

No lo había escuchado antes, pero es interesante ver esa relación.

[ricarlos]

Sean dos circunferencias [math]\omega_1 y [math]\omega_2. [math]P y [math]Q son puntos pertenecientes a [math]\omega_1 y [math]R y [math]S puntos pertenecientes a [math]\omega_2. Se puede afirmar entonces que:
[math]P, Q, R, S son concínclicos sí y solo sí el punto [math]X=PQ\cap RS pertenece al eje radical de [math]\omega_1 y [math]\omega_2

Dejo la demostración de "tarea"

¿que nombre recibe el punto X? Tambien podria quedar como tarea (de busqueda)

[3,14]

[math]X es el centro radical de [math]\omega_1, \omega_2 y el circuncírculo de [math]P, Q, R, S. Además haciendo una construcción adecuada, es el ortopolo de una recta respecto a un triángulo (el triángulo es aquel que tiene a los centros de las tres circunferencias como puntos medios de sus lados).

[Peznerd]

Sean dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$. $P$ y $Q$ son puntos pertenecientes a $\omega_1$ y $R$ y $S$ puntos pertenecientes a $\omega_2$. Se puede afirmar entonces que:
$P, Q, R, S$ son concínclicos sí y solo sí el punto $X=PQ\cap RS$ pertenece al eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$

Dejo la demostración de "tarea"

¿Concíclicos? ¿Eje Radical?

Pf

[3,14]

Sean dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$. $P$ y $Q$ son puntos pertenecientes a $\omega_1$ y $R$ y $S$ puntos pertenecientes a $\omega_2$. Se puede afirmar entonces que:
$P, Q, R, S$ son concínclicos sí y solo sí el punto $X=PQ\cap RS$ pertenece al eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$

Dejo la demostración de "tarea"

¿Concíclicos? ¿Eje Radical?

Pf

Hay un muy buen libro que se llama El Retorno a la Geometría, de Coexter. Creo que debe andar dando vueltas por algún lado en el foro. Es muy bueno para aprender bastantes cosas para OMA.
También debe haber algún apunte de geometría en el foro, pero no sé dónde.
Concíclicos significa que pertenecen a una misma circunferencia.

[Juaco]

No lo conocía, pero casualmente lo use hace poco para un problema.
Este lema lo use en el problema de geometría (creo que era el problema 3) de la APMO DE 2019