Lema para cuadriláteros cíclicos

El Apache yasabes

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Lema para cuadriláteros cíclicos

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Sea ABCD un cuadrilátero de tal forma que la medida de AB es distinta de AD.
AC es bisectriz del ángulo BAD
BC=CD

Si el cuadrilátero cumple esas condiciones entonces es cíclico

Para el caso en que AB=AD se cumple si AC es diámetro de la circunferencia, o sea,
<ABC = <ADC = 90

Hernan26

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Re: Lema para cuadriláteros cíclicos

Mensaje sin leer por Hernan26 »

Es equivalente a lo que en Uruguay llamamos el Teorema de la Vida.
Teorema de la vida: Sea $ABC$ un triángulo. Entonces, la mediatriz de $BC$, la bisectriz de $\angle BAC$ y el circuncírculo de $ABC$ concurren.
Demostración: Sea la intersección de la bisectriz y el circuncírculo $M$. Luego, notemos que por inscritos y bisectriz:
$\angle MBC=\angle MAC=\angle MAB=\angle MCB$
Por lo que $MBC$ es isósceles y $M$ pertenece a la mediatriz de $BC$ como queríamos probar.
Spam:
Spoiler: mostrar
Relacionado con ese punto $M$ también está el teorema de la lapicera, que nos sirve para resolver muchos problemas (Ej:IMO 2006/1)
Les dejo un video que se habla de eso:
https://www.youtube.com/watch?v=9L_jRASaZ4E
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Turko Arias

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Re: Lema para cuadriláteros cíclicos

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Hernan26 escribió:
Lun 22 Feb, 2021 5:22 pm
Es equivalente a lo que en Uruguay llamamos el Teorema de la Vida.
Teorema de la vida: Sea $ABC$ un triángulo. Entonces, la mediatriz de $BC$, la bisectriz de $\angle BAC$ y el circuncírculo de $ABC$ concurren.
Demostración: Sea la intersección de la bisectriz y el circuncírculo $M$. Luego, notemos que por inscritos y bisectriz:
$\angle MBC=\angle MAC=\angle MAB=\angle MCB$
Por lo que $MBC$ es isósceles y $M$ pertenece a la mediatriz de $BC$ como queríamos probar.
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Relacionado con ese punto $M$ también está el teorema de la lapicera, que nos sirve para resolver muchos problemas (Ej:IMO 2006/1)
Les dejo un video que se habla de eso:
https://www.youtube.com/watch?v=9L_jRASaZ4E
Muero por ser jurado en un nacional de Uruguay y leer el "por letra" y todos esos teoremones que tienen, que noble gente
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