Recta de Newton

Juaco

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Recta de Newton

Mensaje sin leer por Juaco »

dado el cuadrilátero $ABCD $ sean
$E = AB \cap CD $
$F = AD \cap BC $
para formar el cuadrilátero completo. (Ver imagen)
Spoiler: mostrar
Screenshot_2021-04-08-23-23-07-1.png
Sean $G, H, I, J $ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DA $ respectivamente y $K = GI \cap HJ $

Por último sean $L, M, N $ los puntos medios de las diagonales $AC, BD, EF $


Dados estos puntos definidos así, se cumple que $K, L, M, N$ son colineales y además $K $ es punto medio de $ML $




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Re: Recta de Newton

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Acá hay algo más.
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Juaco

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Re: Recta de Newton

Mensaje sin leer por Juaco »

Había visto eso antes y esto lo iba a poner ahí pero cuando lo quise buscar no lo encontré
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Gianni De Rico

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Re: Recta de Newton

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

La demo de que $M,L,N$ son colineales está en el link que pasé antes, la idea para demostrar que $K$ es el punto medio de $LM$ es
Spoiler: mostrar
usar bases medias para encontrar paralelogramos.
Una solución que tiene es idea muy escondida:
Spoiler: mostrar
Usamos vectores. Ponemos el origen en algún lado y llamamos con la letra minúscula al vector correspondiente, por ejemplo, $a=\overset \to {OA}$. Entonces\begin{align*}g & =\frac{a+b}{2} \\
h & =\frac{b+c}{2} \\
i & =\frac{c+d}{2} \\
j & =\frac{d+a}{2} \\
l & =\frac{a+c}{2} \\
m & =\frac{b+d}{2}.
\end{align*}Sea $K'$ el punto medio de $LM$, entonces $k'=\frac{l+m}{2}=\frac{a+b+c+d}{4}$, pero $\frac{g+i}{2}=\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{h+j}{2}$, es decir que $K'$ está en $GI$ y en $HJ$ (más aún, es el punto medio de ambos segmentos), por lo que $K'\equiv K$, como queríamos.
Al punto $K$ se lo denomina el baricentro del cuadrilátero $ABCD$.
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