Algo interesante con el incentro-excentro

El Apache yasabes

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Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Dado un triángulo $ABC $ inscrito en una circunferencia $\Gamma $ sean $I $ su incentro y $E $ el excentro opuesto al punto $A $.
El punto medio del segmento $EI $ es el punto medio del arco $\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}$ que no contiene al punto $A $
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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Monazo

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Monazo »

De hecho, yo lo conozco justamente con el Lema Incentro-Excentro. El punto medio del arco no solo es el punto medio del segmento $EI$, sino que también es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B$, $I$, $C$ y $E$. Hermoso lema y muy útil en muchas pruebas Nacionales e Internacionales.
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Gianni De Rico

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Incentro-Excentro no es el de $AI\cdot AE$? Yo creo que este es otra cosa.
La idea para la demo es
Spoiler: mostrar
invertir, nah, mentira.

$BICE$ es cíclico de diámetro $IE$, tenés que que ver nomás que si $D$ es punto medio entonces $DB=DI$, que sale calculando $\angle DBI$ y $\angle IDB$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Monazo

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Monazo »

Supongo que te referís a ver que $AI \cdot AE = b \cdot c$ donde $b$ y $c$ son los lados opuesto a $B$ y $C$. De hecho, estamos viendo la potencia en un punto de $A$ respecto la circunferencia. Creo que entra todo en la misma bolsa.
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Gianni De Rico

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

A ese mismo me refería, supongo que entra todo en la misma bolsa, aunque yo siempre los vi como dos lemas separados.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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