Algo interesante con el incentro-excentro

Juaco

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Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Juaco »

Dado un triángulo $ABC $ inscrito en una circunferencia $\Gamma $ sean $I $ su incentro y $E $ el excentro opuesto al punto $A $.
El punto medio del segmento $EI $ es el punto medio del arco $\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}$ que no contiene al punto $A $
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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Monazo

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Monazo »

De hecho, yo lo conozco justamente con el Lema Incentro-Excentro. El punto medio del arco no solo es el punto medio del segmento $EI$, sino que también es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B$, $I$, $C$ y $E$. Hermoso lema y muy útil en muchas pruebas Nacionales e Internacionales.
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Gianni De Rico

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Incentro-Excentro no es el de $AI\cdot AE$? Yo creo que este es otra cosa.
La idea para la demo es
Spoiler: mostrar
invertir, nah, mentira.

$BICE$ es cíclico de diámetro $IE$, tenés que que ver nomás que si $D$ es punto medio entonces $DB=DI$, que sale calculando $\angle DBI$ y $\angle IDB$.
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Monazo

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Monazo »

Supongo que te referís a ver que $AI \cdot AE = b \cdot c$ donde $b$ y $c$ son los lados opuesto a $B$ y $C$. De hecho, estamos viendo la potencia en un punto de $A$ respecto la circunferencia. Creo que entra todo en la misma bolsa.
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Gianni De Rico

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Re: Algo interesante con el incentro-excentro

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

A ese mismo me refería, supongo que entra todo en la misma bolsa, aunque yo siempre los vi como dos lemas separados.
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