Polar y polo trilineal

El Apache yasabes

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Polar y polo trilineal

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior $X$ se tiene el triángulo ceviano $DEF$ con $D\in BC$, $E\in AC$ y $F\in AB$.
Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.
Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

BrunZo

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Re: Polar y polo trilineal

Mensaje sin leer por BrunZo »

Voy a dejar una respuesta rápida:
Spoiler: mostrar
Lo podemos ver como una superposición de muchos Cevas / Menelaos (sí, aunque no guste, creo que en el fondo es bastante pasable)
Primero que nada, por Ceva vale que
$$\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}=1$$
Ahroa, por Menelao vale que $\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}\frac{BP}{PC}=1$. Combinando con lo primero, vale que $\frac{BD}{DC}=\frac{BP}{PC}$.
Similarmente, vamos $\frac{CE}{EA}=\frac{CQ}{QA}$ y $\frac{AF}{FB}=\frac{AR}{RB}$.
Combinando estas tres igualdades y reemplazándolas en la original, nos da que
$$\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}=1$$
Por lo que, por Menelao, los tres puntos son colineales, como queríamos.

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Gianni De Rico

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Re: Polar y polo trilineal

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Algunas cosas:
  1. El post original decía que $X$ era el tripolar de $d$, cuando en realidad es el polo trilineal (como bien dice el título), así que le cambié eso.
  2. El triángulo ceviano del punto $X$ respecto al triángulo $ABC$ es el triángulo $DEF$, con $D=AX\cap BC$, $E=BX\cap CA$ y $F=CX\cap AB$, creo que valdría la pena mencionar eso en el post, porque no es una terminología tan conocida.
  3. Esto es un caso particular del Teorema de Desargues, lo que @BrunZo demostró es justamente la ida de Desargues (en el link que mandé lo hacen con más Menelaos, acá el Ceva que usa él es más rápido).
  4. @El Apache yasabes no hace falta poner un espacio antes del último signo \$ en $\LaTeX$, funciona bien igual sin hacerlo.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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