Fórmula de la Mediana

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julianferres_

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Fórmula de la Mediana

Mensaje sin leer por julianferres_ » Sab 31 Mar, 2012 4:08 pm

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)
Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera,
es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente:

[math]
images (2).jpg
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Nacho

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Re: Fórmula de la Mediana

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 31 Mar, 2012 6:26 pm

Usamos la notación de la figura que adjuntó Julián.

Por Teorema del Coseno en [math], se tiene que [math].
De la misma manera, por Teorema del Coseno en [math], se tiene que [math].

Sumamos ambas condiciones, y obtenemos [math].

(De la misma forma, se puede demostrar un teorema más general que es el Teorema de Stewart).
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Gianni De Rico

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Re: Fórmula de la Mediana

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 07 May, 2020 3:48 pm

En este caso el Teorema del Coseno es un overkill innecesario, sale con Pitágoras nomás:

Demostración:
Sea $H$ el pie de la altura desde $C$, y sean $AH=p,~BH=q,~CH=r$. Notemos entonces que $MH=AM-AH=\frac{p+q}{2}-p=\frac{q-p}{2}$, por Pitágoras de sigue que$$m^2=r^2+\frac{(p-q)^2}{4}$$de donde$$4m^2=4r^2+(p-q)^2$$Por otro lado$$\begin{align*}2a^2+2b^2-c^2 & =2\left (r^2+p^2\right )+2\left (r^2+q^2\right )-(p+q)^2 \\
& =4r^2+(p-q)^2
\end{align*}$$así que$$2a^2+2b^2-c^2=4m^2$$

De este resultado se desprende el Teorema del Paralelogramo, que puede verse en acción acá.
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