Pretorneo 2025 NM P2

[Ulis7s]

Se tiene una fila de cinco números enteros positivos. Cada uno de ellos (excepto el primero) es el menor número entero positivo que NO es divisor del número que lo precede en la fila. Determinar si estos cinco números pueden ser todos distintos.

[Emerson Soriano]

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La respuesta es no.

Supongamos que existen cinco enteros positivos dsitintos que cumplen la regla del problema, digamos que estos números sean $a$, $b$, $c$, $d$, $e$.

Si $a$ es impar, entonces $b=2$, $c=3$ y $d=2$, lo cual es absurdo.

Si $b$ es impar, entonces $c=2$, $d=3$ y $e=2$, lo cual es absurdo.

Si $a$ y $b$ son pares, entonces $a=2x$ y $b=2y$, para algunos enteros positivos $x$, $y$. Por la condición del problema, $b$ es el menor entero positivo que no divide a $a$, entonces $y\mid 2x$ y $2y\nmid 2x$, de donde es evidente que $v_2(y)=v_2(x)+1=k$, luego, como $2^{k+1}$ no divide a $2x$ y además $2^{k+1}\mid 2y$, deducimos que $b=2y=2^{k+1}$ ($b$ tiene que ser el menor con esa propiedad), de donde tenemos que $c=3$, $d=2$ y $e=3$, lo cual es absurdo.

Concluimos que entre cualesquiera cinco números con las propiedades del problema, al menos dos son iguales.