Inducción

[3,14]

Hola,quería saber si alguien no podría dar una explicación paso a paso para llevar a cabo el método de inducción (y si es posible un ejemplo).
Gracias

[Guty]

Básicamente el Principio de Inducción dice: Dada una afirmación para cada número natural [math]n, digamos [math]p (n). Entonces si valen:

1) [math]p (1) es verdadero
2) Si [math]p(n) es verdadero, esto implica que [math]p(n+1) es verdadero.

Entonces podemos decir que nuestra afirmación es válida para cada número natural.

Ejemplo: Tomemos como afirmación para cada número natural: "La suma de todos los números naturales desde [math]1 hasta [math]n se puede calcular como [math]\frac{n(n+1)}{2}"

En este caso nuestra afirmación [math]p(n) es [math]\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} para cada número natural [math]n. Donde [math]p(n) para cada [math]n puede tomar el valor de "Verdadero" (si se verifica la igualdad) o "Falso" (si no se verifica).

La primera condición que dice que se debe cumplir es que "el primer caso sea verdadero", en nuestro caso ver que [math]p(1) es Verdadera sería lo siguiente.

[math]\bigstar p(1) es VERDADERO [math]:

[math]\sum_{i=1}^{1} i = \frac{1(1+1)}{2} \Leftrightarrow 1 = \frac{1(2)}{2} \Leftrightarrow 1 = 1 Entonces [math]p(1) es VERDADERA.

Luego, lo segundo que nos pide el principio de inducción es ver si suponiendo que [math]p(n) es Verdadera, entonces, podemos deducir (a partir de esta hipótesis) que [math]p(n+1) es verdadera.

[math]\bigstar Si [math]p(n) es VERDADERA [math]\Rightarrow p(n+1) es VERDADERA [math]:

Básicamente queremos ver que: [math]\sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{(n+1)(n+2)}{2} es Verdadero, suponiendo que [math]\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} es Verdadera.

Ahora, hacemos lo siguiente [math]\sum_{i=1}^{n+1} i = \sum_{i=1}^{n} i + (n+1) Luego, por Hipótesis inductiva, sabemos cuánto vale [math]\sum_{i=1}^{n} i así que lo reemplazamos por [math]\frac{n(n+1)}{2} Nos queda:

[math]\sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1) (\frac{n}{2} + 1) =

[math]=(n+1) ( \frac{n+2}{2}) = \frac{(n+1)(n+2)}{2} Que es lo que queríamos ver

Luego, el principio de inducción nos asegura que se cumple para cualquier número natural.

La idea intuitiva que corre por atrás del principio de inducción es: "Si yo sé que el primer caso es verdadero, y que si se cumple un cierto caso, entonces se cumple el siguiente, entonces podemos afirmar que se cumplen todos los casos".

Supongo que poniendo en el buscador del foro "inducción" te deberían salir varios ejemplos de problemas que salen con inducción. Sino, supongo que alguno que recuerde un problema lindo que salga con inducción lo va a postear abajo.

[Fran5]

Aca unos pocos

Uno lindo (pero pesado) es el P1 de la IMO 2013
Otros
P1 N3 Intercolegial 1996
P1 Selibero 1995
P6 NM TIC 2011