Teorema de Wolstenholme Reloaded

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Vladislao

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Teorema de Wolstenholme Reloaded

Mensaje sin leer por Vladislao »

El Teorema de Wolstenholme (que dentro del link fue demostrado gentilmente por @Nacho) dice, en su versión más conocida, que:

Si [math] es el numerador de la suma [math] donde [math] es primo, entonces [math].

Lo interesante es que hay varias otras formulaciones equivalentes. Las dejo acá, a la espera de que alguien se anime a probarlas (quizás podría asumirse como ya demostrada la versión clásica).

Wolstenholme 1: Si [math] es primo se cumple que [math].

Wolstenholme 2: Si [math] es primo se cumple que [math].

Wolstenholme 3: Si [math] es primo se cumple que el numerador de [math] es divisible por [math].

Wolstenholme 4: Si [math] es primo se cumple que el numerador de [math] es divisible por [math].

Creo que hay al menos 10 o 12 problemas conocidos de olimpíadas que son equivalentes al Teorema de Wolstenholme.
1  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Nacho

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Re: Teorema de Wolstenholme Reloaded

Mensaje sin leer por Nacho »

Bueno, ya que nadie se anima...
Spoiler: mostrar
1. Sabemos que vale Wolstenholme, entonces [math] tiene numerador divisible por [math]. Consideremos el polinomio [math] de grado [math]. Cuando evaluamos en [math] y miramos módulo [math], todos los términos que acompañan a la [math] con grado [math] desaparecen. Sólo quedan los que acompañan a [math] y el término independiente. El término independiente es [math]. El otro es [math]. Como acompaña a la [math], al evaluar en [math], queda multiplicado por [math] y así ese término desaparece módulo [math]. Esto quiere decir que [math]. Pero entonces, esto quiere decir que [math]. Multiplicando arriba y abajo por [math] obtenemos que [math].

2. Es casi que la misma idea, sólo que un poco mas dificil escribirla. Vamos a poner a [math]. Entonces, tenemos que
[math]


Pero ahora, haciendo EXACTAMENTE la misma cuenta que en 1. sabemos que [math]. Entonces queda lo deseado.

3. Lo pruebo en la demo de Wolstenholme, así que no voy a volver a escribir la demostración.

4. Podemos separar a la suma como hacíamos en el segundo ítem, las cosas divisibles por [math] de las que no lo son:
[math]


De la primer suma, por Wolstenholme sabemos que tiene numerador divisible por [math] así que simplemente sacándole el [math] que queda dividiendo tenemos que tiene numerador divisible por [math]. Y las otras sumas, vistas módulo [math], simplemente es repetir [math] veces la suma de [math], que también por Wolstenholme sabemos que tiene numerador divisible por [math]. Entonces todo eso tiene numerador divisible por [math] y estamos [math]
"Though my eyes could see I still was a blind man"
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