Criterios de divisibilidad y generalizaciones

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3,14

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Criterios de divisibilidad y generalizaciones

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Criterios de divisibilidad
A continuación voy a escribir la demostración de algunos criterios de divisibilidad, algunos conocidos y otros no tanto, y también algunas sugerencias para encontrar criterios de divisibilidad en bases distintas de $10$.
Criterios en base 10
En primer lugar, vamos a pensar en un número genérico $n$ de $k$ cifras como $\overline{a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_1a_0}$, donde $a_i$ es una cifra del número y por lo tanto $0\leq a_i\leq 9$, excepto $a_{k-1}$ que cumple $1\leq a_{k-1}\leq 9$.
Sabiendo que $n$ está escrito en base diez, podemos afirmar que:
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+10^0a_0$
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+a_0$
Ahora sí estamos en condiciones de analizar los distintos criterios.
Criterio de divisibilidad por $2$ y por $5$
Un número es divisible por $2$ si y sólo si la última cifra de $n$ ($a_0$) es congruente a cero módulo $2$. ($a_0\in \{0;2;4;6;8\}$).
Un número es divisible por $5$ si y sólo si la última cifra de $n$ ($a_0$) es congruente a cero módulo $5$. ($a_0\in \{0;5\}$).
Demostración:
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Como $2\mid 10$ y $5\mid 10$ entonces se cumple que:
$10^ja_j\equiv 0\pmod 2$
$10^ja_j\equiv 0\pmod 5$
si $j\geq 1$.
Por lo tanto, podemos afirmar que:
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+a_0\equiv a_0\pmod 2$
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+a_0\equiv a_0\pmod 5$
Entonces, el resto de $n$ en la división por $2$ y $5$ depende exclusivamente de $a_0$. Por la congruencia de más arriba se concluye que $n$ es divisible por dos o por cinco sí y solo sí $a_0$ lo es.
Criterio de divisibilidad por $3$ y por $9$
Un número es divisible por $3$ si la suma de sus cifras es divisible por $3$.
Un número es divisible por $9$ si la suma de sus cifras es divisible por $9$.
Demostración
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Vemos que:
$10\equiv 1\pmod 3$
$10\equiv 1\pmod 9$
Por lo tanto podemos decir que:
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+a_0\equiv 1^{k-1}a_{k-1}+1^{k-2}a_{k-2}+\cdots +1^2a_2+1a_1+a_0\equiv a_{k-1}+\cdots +a_2+a_1+a_0\pmod 3$
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+a_0\equiv 1^{k-1}a_{k-1}+1^{k-2}a_{k-2}+\cdots +1^2a_2+1a_1+a_0\equiv a_{k-1}+\cdots +a_2+a_1+a_0\pmod 9$
Es decir, el resto de $n$ en la división por $3$ y $9$ depende del resto en la división por $3$ y $9$ de la suma de sus dígitos. Por lo tanto, para que el resto en la división por $3$ o $9$ sea $0$, la suma de sus dígitos debe ser múltiplo de $3$ o $9$ respectivamente.
Criterio de divisibilidad por $11$
Un número es divisible por $11$ si la diferencia entre la suma de sus cifras en posición par y la suma de sus cifras en posición impar es múltiplo de $11$.
Demostración
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Observemos que:
$10\equiv -1\pmod{11}$
$n=10^{k-1}a_{k-1}+10^{k-2}a_{k-2}+\cdots +10^2a_2+10^1a_1+a_0\equiv (-1)^{k-1}a_{k-1}+(-1)^{k-2}a_{k-2}+\cdots +(-1)^2a_2+(-1)a_1+a_0\pmod{11}$
Veamos que si el número al que está elevado el $-1$ es par, entonces el $-1$ se transforma en $1$, pero en caso contrario, permanece en $-1$. De esta forma, en las congruencias, las cifras aparecen alternadamente con signos positivos y negativos.
Por lo tanto se cumple que:
$n\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots \pmod{11}$
Por lo tanto, para que $n$ sea múltiplo de $11$, la suma y resta alternada de sus cifras debe ser múltiplo de $11$.
Criterio de divisibilidad por $2^j$ (generalización del criterio de divisibilidad por $4$ y por $8$)
Para que $n$ sea divisible por $2^j$ entonces el número formado por sus últimas $j$ cifras debe serlo.
En el caso de $j=2$, se concluye que $n$ es divisible por $4$ si el número formado por sus últimas dos cifras es divisible por $4$.
Demostración
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Observemos que:
$10\equiv 0\pmod 2$
Y entonces $10^j\equiv 0\pmod{2^j}$.
Por lo tanto:
$n=10^{k-1}a_{k-1}+\cdots +10^{j+1}a_{j+1}+10^ja_j+10^{j-1}a_{j-1}+\cdots +10a_1+a_0$
Por lo que vimos antes, $10^m\equiv 0\pmod {2^i}$ para todo $m\geq i$.
Por lo tanto, queda que:
$n\equiv 10^{j-1}a_{j-1}+10^{j-2}a_{j-2}+\cdots +10a_1+a_0\pmod{2^j}$
Esto significa que para que $n$ sea divisible por $2^j$ entonces el número formado por sus últimas $j$ cifras deben ser divisibles por $2^j$.
Criterio de divisibilidad por $5^j$
Un número $n$ es divisible por $5^j$ si el número formado por sus últimas $j$ cifras es divisible por $5^j$.
No voy a escribir la demostración porque es análoga a la anterior, ya que tanto $2$ como $5$ dividen a $10$, y por lo tanto se cumple también ahora que $10^m\equiv 0\pmod {5^j}$ para todo $m\geq j$.

Criterio de divisibilidad por otros números (generalización)
Vamos a deducir un criterio de divisibilidad genérico que servirá para obtener los criterios de divisibilidad de números como el $7$, el $13$, etc.
Vamos a cambiar la forma de escribir a $n$.
Ahora lo vamos a pensar como el número $\overline{Aa_0}$ donde $A$ es el número formado por todas las cifras de $n$ menos la última, y $a_0$ es la última cifra.
Supongamos que $m$ sea un número natural coprimo con $10$, es decir, tal que no es divisible ni por $2$ ni por $5$.
Supongamos que queremos encontrar un criterio de divisibilidad para $m$. Queremos encontrar una cualidad que cumplan solo los múltiplos de $m$, por lo que supongamos que $n$ es múltiplo de $m$ y analicémoslo:
$n=10A+a_0\equiv 0\pmod m$
$10A\equiv - a_0\pmod m$
Como $10$ y $m$ son coprimos entonces sabemos que $10$ es invertible módulo $m$, por lo que existe un entero $v$ tal que $10v\equiv 1\pmod m$. Multiplicando en la expresión por $v$ en ambos lados de la congruencia:
$10vA\equiv -va_0\pmod m$
$A+va_0\equiv 0\pmod m$
$A+(v-m)a_0\equiv 0\pmod m$
Entonces podemos decir que un número es divisible por un natural $m$ coprimo con $10$ si la suma entre el número formado por todas sus cifras exceptuando la última, y (v-m) veces la última cifra, es múltiplo de $m$. (Donde $v$ es el inverso multiplicativo de $10$ módulo $m$).
De esto podemos sacar por ej., que para que un número sea divisible por $7$, como $v=5$ ($5\cdot 10=50\equiv 1\pmod 7$), entonces la suma entre el número sin la última cifra y $(5-7)=-2$ veces la última cifra es múltiplo de $7$, lo que se traduce en que la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades, sea múltiplo de $7$.
Criterios de divisibilidad en otros bases
Como se habrá podido notar en los primeros criterios, hubo algo especial acerca del número cuyo criterio buscábamos, que nos ayudó a encontrarlo. Por ejemplo, será fácil encontrar los criterios de divisibilidad para números de la forma $d^i$ cuando $d$ es un divisor de la base del sistema de numeración. (Las últimas $i$ cifras deben formar un número que sea múltiplo de $d^i$).
Otro caso es el criterio para los números $m$ que cumplen que $\text {base del sistema}\equiv 1\pmod m$ (como el caso del $3$ y $9$ en base $10$). El criterio será que la suma de las cifras sea múltiplo de $m$.
Otro caso es para los que $\text {base del sistema}\equiv -1\pmod m$ (como el caso del $11$ en base $10$) y el criterio puede deducirse de igual forma, llegando a que el número es múltiplo de $m$ si la resta entre la suma de dígitos en posición par y los de posición impar es múltiplo de $m$.

Ejercicios:
a) Deducir el criterio de divisibilidad por $31$ en base $10$.
b) Deducir el criterio de divisibilidad por $4$ en base $7$.
c) Deducir el criterio de divisibilidad por $27$ en base $21$.

Espero que el post les haya gustado y que les sea útil!! :D :)
Última edición por 3,14 el Vie 16 Feb, 2018 12:01 am, editado 2 veces en total.
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JPablo
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Re: Criterios de divisibilidad y generalizaciones

Mensaje sin leer por JPablo »

Como una modesta contribución, dejo este problema que se me ocurrió hace tiempo: http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=11&t=3087
leonarsc
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Re: Criterios de divisibilidad y generalizaciones

Mensaje sin leer por leonarsc »

me ayudo mucho gracias :!: ;)
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3,14

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Re: Criterios de divisibilidad y generalizaciones

Mensaje sin leer por 3,14 »

Hoy me contaron un criterio de divisibilidad por $7$ que nunca había escuchado, y que es realmente genial (no sé por qué no se difunde más :D ). Se basa en que $10^3\equiv -1\pmod 7$. Consiste en tomar desde la derecha grupos de tres cifras (si faltan completamos con ceros). Si la suma y resta alternada de estos números de 3 cifras es múltiplo de $7$, entonces, lo será el número original.
[math]
Juan Y
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Re: Criterios de divisibilidad y generalizaciones

Mensaje sin leer por Juan Y »

Muchísimas gracias por tu explicación. Me ayudó mucho y es mucho más completa de lo que esperaba, cosa que para mí es fantástica, porque me encanta entender en profundidad.
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