Sea [math]k>1 un número entero. Decimos que un entero positivo [math]N es bimúltiplo de [math]k si [math]N es múltiplo de [math]k, y además el número que resulta de invertir los dígitos de [math]N también es múltiplo de [math]k.
Mario escribe en la pizarra un número de [math]7 dígitos, todos ellos distintos de cero. Demuestre que conociendo el número de Mario, siempre es posible suprimir tres dígitos, de modo que el número que queda es bimúltiplo de algún entero [math]k>1.
Vamos a suponer que existe un número [math]N de siete cifras tal que al suprimirle 3 cifras cualesquiera el número que queda escrito no es bimúltiplo de ningún [math]k para así ver que condiciones tendría que cumplir [math]N necesariamente si existiera, y una vez sabiendo estas condiciones, vamos a demostrar que todo [math]N es bimúltiplo de algún [math]k>1.
Veamos que si [math]k=3, todos los múltiplos de [math]3 son además bimúltiplos de [math]3, ya que un número cumple esto sí y sólo sí la suma de sus dígitos también lo cumplen, y estas permanecen invariantes al invertir [math]N. Luego, no puede haber 4 cifras en [math]N que sumen un múltiplo de 3.
Vamos ahora a demostrar que ningún [math]N con un dígito igual a [math]3, [math]6 o [math]9 cumple lo pedido.
En caso de que haya más de tres dígitos en [math]N que sean múltiplos de [math]3, con estos cuatro podríamos formar un bimúltiplo de 3. Luego, como mucho [math]3 de estos.
Si hubiera exactamente [math]1 o [math]2 dígitos múltiplo de [math]3. Necesitaríamos mínimo 5 dígitos más en [math]N, que serían congruentes a [math]1 o [math]2 módulo [math]3. Pero por palomar, habría necesariamente tres con el mismo resto, por lo que se podría formar un número cuya suma de cifras sería congruente a [math]3n+3 módulo [math]3, por lo que sería bimúltiplo de [math]3.
Si hubiera exactamente [math]3 dígitos múltiplos de [math]3 en [math]N, tendríamos que usar [math]4 dígitos más en [math]N congruentes a [math]1 o [math]2 en este módulo. Si hubiera tres o más con el mismo resto, podríamos formar un múltiplo de [math]3 con tres del mismo resto y uno de los tres que son múltiplos de [math]3. Luego, habría necesariamente dos dígitos con resto [math]1 y dos dígitos con resto [math]2 en la división por [math]3, pero con estos cuatro dígitos formaríamos un bimúltiplo de [math]3.
Luego, los dígitos [math]3, [math]6 y [math]9 no pueden aparecer en [math]N.
Si hubiese dos dígitos con resto [math]1 y dos dígitos con resto [math]2 en [math]N, podríamos formar un número cuya suma de cifras sería múltiplo de [math]3, por lo que necesariamente [math]6 de los dígitos de [math]N tienen que tener el mismo resto en la división por [math]3. Luego, si [math]N existiera, no podría tener más de [math]4 dígitos diferentes.
Ahora sabiendo esto, vamos a proceder a demostrar que se le pueden suprimir tres dígitos a todo [math]N tal que el número que queda es bimúltiplo de algún [math]k>1
Por palomar, como hay como mucho [math]4 dígitos distintos, nos vamos a encontrar necesariamente con uno de estos dos casos.
a) Uno de los dígitos aparece repetido [math]4 veces y los otros aparecen una vez cada uno.
b) Hay dos o más dígitos que aparecen en [math]N dos o más veces.
Para el caso a) es fácil notar que si suprimimos todos los dígitos de [math]N salvo estos cuatro, vamos a obtener un número bimúltiplo de si mismo, ya que la inversión de los dígitos sería igual a si mismo (por ser un número capicua).
El caso b) lo vamos a analizar en tres sub-casos. Llamémosle [math]a al dígito repetido que aparece primero en el número y [math]b al otro dígito repetido que aparece en el número. Luego, [math]a y [math]b pueden aparecer en los siguientes ordenes (habría números entre ellos, pero estos son irrelevantes ya que los vamos a suprimir):
Ahora vamos a demostrar que todos los números de la forma [math]\overline{aabb}, [math]\overline{abab}, y [math]\overline{abba} donde [math]a y [math]b son dígitos, son bimúltiplos de algún [math]k>1 para así concluir la demostración.
i) Como la suma de los dígitos en posiciones impares de este número es igual a la suma de los dígitos en posiciones pares, (ya que las dos son [math]a+b), tenemos que ambas sumas tienen el mismo resto módulo [math]11. Luego, este número sería múltiplo de [math]11. Con el mismo razonamiento podríamos llegar a que el número obtenido al invertir el orden de los dígitos de este número es también múltiplo de [math]11, por lo que todo número de esta forma es bimúltiplo de [math]11.
ii) A este número lo podemos expresar como [math]1000a+100b+10a+b=1010b+101a=101(10b+a). Luego, este número es múltiplo de [math]101, y con su inverso tendríamos [math]1000b+100a+10b+a=1010a+101b=101(10a+b). Por lo que tanto el número en sí como su inverso son múltiplos de [math]101, llegando a la conclusión de que el número es bimúltiplo de [math]101.
iii) Tenemos que el inverso de todos los números de esta forma son si mismo, ya que los números con este patrón de dígitos son capicuas. Luego, el número que nos queda es bimúltiplo de si mismo.
