Primos 4k+1 y residuos cuadráticos
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AgusBarreto
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Primos 4k+1 y residuos cuadráticos
En todo el post $p$ representa un número primo impar. Decimos que un entero $a$ es residuo cuadrático módulo $p$ si existe un entero $x$ tal que $x^2 \equiv a \pmod p$. Vamos a enunciar y demostrar tres lemas:
Lema 1: $-1$ es residuo cuadrático módulo $p$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 4$
Lema 2: Si $a$ (coprimo con $p$) es residuo cuadrático módulo $p$, entonces es residuo cuadrático módulo $p^k$ para todo $k$ entero positivo.
Lema 3: si $n$ es un entero positivo cuyos divisores primos son todos de la forma $4k+1$ con $k$ entero positivo, entonces $-1$ es residuo cuadrático módulo $n$.
Lema 1: $-1$ es residuo cuadrático módulo $p$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 4$
Lema 2: Si $a$ (coprimo con $p$) es residuo cuadrático módulo $p$, entonces es residuo cuadrático módulo $p^k$ para todo $k$ entero positivo.
Lema 3: si $n$ es un entero positivo cuyos divisores primos son todos de la forma $4k+1$ con $k$ entero positivo, entonces $-1$ es residuo cuadrático módulo $n$.
Última edición por AgusBarreto el Sab 29 Dic, 2018 5:02 am, editado 1 vez en total.
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BrunoDS
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Re: Primos 4k+1 y residuos cuadráticos
Usando el Lema 1 nos dice que el Lema 3 es si y sólo si, no?Lema 3: si n es un entero positivo cuyos divisores primos son todos de la forma 4k+1 con k entero positivo, entonces −1 es residuo cuadrático módulo n.
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."
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Gianni De Rico
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Re: Primos 4k+1 y residuos cuadráticos
Sí, porque si $-1$ es un residuo cuadrático módulo $n$, entonces es un residuo cuadrático módulo $p$ para todo $p$ primo tal que $p\mid n$, entonces por el Lema 1 tenemos que $p$ es de la forma $4k+1$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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BrunoDS
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Re: Primos 4k+1 y residuos cuadráticos
Podemos además agregar al $2$ en el lema 1 y en la factorización del Lema 3, pero no a $2^x$ si $x\geq2$, ya que si miramos módulo $4$, sabemos que no existe un $a$ tal que $a² \equiv -1\pmod 4$
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