Suma de cuadrados de 1 hasta n

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amcandio

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Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por amcandio »

La suma de los cuadrados de $1$ hasta $n$, es decir $1+2^2+\ldots +n^2=\sum \limits _{i=1}^ni^2$, es igual a $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
3  
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"
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Vladislao

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Re: Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por Vladislao »

Demostración chota:
Spoiler: mostrar
Inducción :/
Demostración copada:
Spoiler: mostrar
Por el cubo del binomio, sabemos que:

[math]

[math]

[math]

[math]

Sumando todas estas igualdades, obtenemos que:

[math]

Restando y reemplazando la sumatoria conocida:

[math]

Es decir que:

[math]

Multiplicando por 2 y reordenando el lado izquierdo notemos que:

[math]

Sacando factor común:

[math]

Expandiendo la expresión entre paréntesis:

[math]

Es decir que:

[math]

De donde se deduce el resultado:

[math]
Nota: La idea de la segunda demostración se puede usar para encontrar un polinomio de grado [math] que exprese la suma de las primeras [math] potencias [math]-ésimas para todo [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
xD13G0x
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Re: Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por xD13G0x »

Vladislao escribió:Demostración chota:
Spoiler: mostrar
Inducción :/
Demostración copada:
Spoiler: mostrar
Por el cubo del binomio, sabemos que:

[math]

[math]

[math]

[math]

Sumando todas estas igualdades, obtenemos que:

[math]

Restando y reemplazando la sumatoria conocida:

[math]

Es decir que:

[math]

Multiplicando por 2 y reordenando el lado izquierdo notemos que:

[math]

Sacando factor común:

[math]

Expandiendo la expresión entre paréntesis:

[math]

Es decir que:

[math]

De donde se deduce el resultado:

[math]
Nota: La idea de la segunda demostración se puede usar para encontrar un polinomio de grado [math] que exprese la suma de las primeras [math] potencias [math]-ésimas para todo [math].
Demostracion aun mas copada:
Spoiler: mostrar
[math] es igual a la cantidad de triplas [math] tales que [math] y [math]. Contemos eso de otra forma
Tenemos dos casos:
[math]. Hay [math] triplas que satisfacen lo pedido
[math]. Hay [math] triplas que satisfacen eso pues se puede permutar [math] y [math].
Entonces la sumatoria es igual [math].
Deje varios detalles sin explicar.
1  
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Fredy10
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Re: Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por Fredy10 »

Voy a hacer una generalización que si se observa detenidamente tiene la "esencia" de la demostración de Vladislao, que nos permitirá hallar una fórmula cerrada para la suma de las potencias $k$-ésimas de una manera recursiva. (Quizás suena contradictorio "cerrada" y "recursiva", se podría decir que es "cerrada en $n$ y recursiva en $k$")

Definimos $S_k(n)=\sum \limits _{i=1}^ni^k$
Usando la suma telescópica tenemos:$$\sum _{i=1}^n(i+1)^{k+1}-i^{k+1}=(n+1)^{k+1}-1$$Pero usando la fórmula del binomio de Newton en el primer término:$$\begin{align*}\sum _{i=1}^n(i+1)^{k+1}-i^{k+1} & = \sum _{i=1}^n\left (\sum _{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}i^{k+1-j}\right ) \\
& =\sum _{j=1}^{k+1}\left (\sum _{i=1}^n{\binom{k+1}{j}i^{k+1-j}}\right ) \\
& =\sum _{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}S_{k+1-j}(n)
\end{align*}$$Combinando con la primera tenemos:$$S_k(n)=\frac{(n+1)^{k+1}-1-\left (\sum \limits _{j=2}^{k+1}\binom{k+1}{j}S_{k+1-j}(n)\right )}{k+1}$$Y usando esta fórmula podemos hallar las fórmula para la suma de los primeros $n$ cuadrados, cubos, potencias cuartas o lo que se les ocurra (mientras tengan ganas de hacer cuentas :D)
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Ivan

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Re: Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por Ivan »

Una observación simple pero interesante: del post de Freddy sale que [math] es un polinomio en [math] de grado [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Squee
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Re: Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por Squee »

Me parecen re bonito este tema, es uno de los pocos en los que hice demostraciones cuando iba al secundario... era durante la hora de plastica o similar xD, lastima que era 0 rigurosidad la mia, mas que demostrar era deducir las formulas.
LuchoLP

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Re: Suma de cuadrados de 1 hasta n

Mensaje sin leer por LuchoLP »

Otra
Spoiler: mostrar
Usar que [math] es la suma de los primeros [math] naturales impares y hacer muchas cuentas :)
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