Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe 2017 P5

[Violeta]

Susana y Brenda juegan a escribir polinomios, tomando turnos y comenzando por Susana.

En el turno preparatorio (turno $0$), Susana escoge un entero positivo $n_0$ y escribe el polinomio $P_0(x)=n_0$

En el siguiente turno, Brenda escoge un entero positivo $n_1$ distinto de $n_0$ y escribe $P_1(x)=n_1x+P_0(x)$ o bien $P_1(x)=n_1x-P_0(x)$

En general, en el turno $k$, la jugadora correspondiente escoge un entero positivo $n_k$ distinto de $n_0,n_1,\ldots ,n_{k-1}$ y escribe $P_k(x)=n_kx^k+P_{k-1}(x)$ o bien $P_k(x)=n_kx^k-P_{k-1}(x)$.

La primera jugadora en escribir un polinomio con por lo menos una raiz entera gana. Hallar una estrategia ganadora para alguna jugadora y describirla.

[jhn]

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Susana tiene una estrategia ganadora. Dece comenzar escribiendo 1 (es obvio que cualquier otra jugada pierde). Si Brenda escribe [math]ax+1, entonces Susana escribe [math](a+1)x^2-(ax+1) que tiene raíz 1 y gana. Si Brenda escribe [math]ax-1 con [math]a>2, entonces Susana escribe [math](a-1)x^2-(ax-1) que tiene raíz 1 y gana. Si Brenda escribe [math]2x-1, entonces Susana escribe [math]3x^2+2x-1 que tiene raíz [math]-1 y gana.

[Violeta]

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Susana tiene una estrategia ganadora. Dece comenzar escribiendo 1 (es obvio que cualquier otra jugada pierde). Si Brenda escribe [math]ax+1, entonces Susana escribe [math](a+1)x^2-(ax+1) que tiene raíz 1 y gana. Si Brenda escribe [math]ax-1 con [math]a>2, entonces Susana escribe [math](a-1)x^2-(ax-1) que tiene raíz 1 y gana. Si Brenda escribe [math]2x-1, entonces Susana escribe [math]3x^2+2x-1 que tiene raíz [math]-1 y gana.

Este problema no lo hizo mucha gente, creo que fue porque, al ver la generalización de [math]P_k(x), se intimidaron y pensaron que el polinomio ganador puede haber sido un poliomio de grado 20, por ejemplo. Pero sí, no es muy dificil el problema.

[jhn]

Interesante observación. Sí, el problema impresiona bastante, pero al final es problema es fácil. Moraleja: no hay que asustarse con los enunciados, sino tratar de entenderlos examinando los casos más sencillos, para luego avanzar poco a poco.