Pretorneo 2025 NM P1

[Ulis7s]

Hallar el menor entero positivo tal que entre todos sus divisores positivos (incluidos $1$ y el propio número) se puede elegir cuatro (distintos) cuya suma sea igual a $2025$.

[Emerson Soriano]

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Sea $n$ el número que estamos buscando, entonces existen cuatro divisores positivos de $n$, digamos $x<y<z<w$, tales que
$$2025=\frac{n}{x}+\frac{n}{y}+\frac{n}{z}+\frac{n}{w}\leq \frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}=\frac{25n}{12},$$
de donde tenemos que $n\geq 972$. La igualdad ocurre si y solo si $n=972$ y este número es múltiplo de $1$, $2$, $3$ y $4$, lo cual es cierto.

Por lo tanto, el menor valor que cumple es $972$.