Zonal 2025 Nivel 3 Problema 1

[agleidhold]

Se tienen $72$ pesas que pesan $1\text{ gr},2\text{ gr},3\text{ gr},\ldots ,72\text{ gr}$(todos los pesos enteros desde $1$ hasta $72$ gramos). Distribuir las $72$ pesas en tres grupos de modo tal que los tres grupos sean de igual peso.

Aclaración: Los grupos pueden tener distintas cantidades de pesas.

[Jano Ochoa Questa]

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Sea la suma de todos los pesos $73*36=2628$ cada conjunto de pesas deberá pesar $\frac {2628}{3} =876$, ahora simplemente hay que empezar desde cualquier número e irle sumando otros hasta igualar al 876, dado que, si empiezo por el 72, esta suma se complica aplicarla, empiezo por el 71, esto es redundante. Logramos la sucesión 71, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61, 60, 43, 44, 3; ahora hacemos lo mismo, pero empezando desde 10, queda entonces la sucesión desde 10 hasta 42 +9+8+7+5, por descartes, las pesas que quedan deberán sumar 876.

[Ignacio Torviso]

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Sea la suma de todos los pesos $72*36=2592$ cada conjunto de pesas deberá pesar $\frac {2592}{3}=864$, ahora simplemente hay que empezar desde cualquier número e irle sumando otros hasta igualar al 864, aunque recomendablemente empiezo por el 72, esto es redundante. Logramos la sucesión 72, 71, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61, 60, 6; ahora hacemos lo mismo, pero empezando desde 10, queda entonces la sucesión desde 10 hasta 42 +1+2+3, por descartes, las pesas que quedan deberán sumar 864.

La fórmula de la suma de Gauss dice que la suma de todos los números desde $1$ hasta $n$ es igual a:

$$
\frac{n(n+1)}{2}.
$$

Por lo tanto, tomando $n = 72$, la suma desde $1$ hasta $72$ es:

$$
\sum_{n=1}^{72} n = \frac{72 \cdot 73}{2} = 2628
$$Entonces, cada conjunto deberá pesar $\frac{2628}{3} = 876$.

[bruno]

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Ya se conoce que cada grupo tiene que pesar $876$ y para hacer la distribucion de la forma mas sencilla es prudente colocar las pesas mas livianas en un grupo y las mas pesadas en otro grupo y luego ir modificando la distribucion de acuerdo a lo que necesitemos ya que no importa la cantidad de pesas en cada grupo (el tercer grupo ya se formara automaticamente con las pesas restantes). De esta forma podemos hacer las cuentas de forma rapida usando la suma de Gauss: $1+2+3+...+n=n*(n+1)/2$ y $k+(k+1)+...+n=(1+2+3+...+n)-(1+2+3+...+(k-1))=(n*(n+1)-(k-1)*k)/2$.

Empezamos con el grupo de las livianas: si sumamos los primeros $42$ numeros, nos excedemos $42*43/2=903$. Si sumamos los primeros $41$ numeros el resultado seria $41*42/2=861$, por lo que nos faltarian $15$ para llegar a $876$, pero no podemos llegar porque ya tenemos en el grupo todas las pesas de $1$ a $15$ gramos. Entonces, si nos quedamos con los primeros $40$ numeros tenemos $40*41/2=820$, por lo que nos faltarian $56$, por lo tanto agregamos la pesa de $56$ al grupo.

Con el segundo grupo, lo mas sencillo es que al ser las mas pesadas, entonces nos excederemos en el peso y luego reemplazamos la mas pesada por otra mas liviana. Para ello necesitamos tener las pesas de la $59$ a la $72$, pues es la minima cantidad de pesas que sobrepasan $876$. $59+60+...+72=(72*73-58*59)/2=917$. Entonces nos sobran $41$ gramos, por lo que reemplazamos la pesa de $72$ por la de $31$ que pesa $41$ gramos menos y mandamos la pesa de $72$ gramos al primer grupo.

Ahora el primer grupo que antes pesaba $876$ pesa ahora $41$ gramos mas, por lo que hay que quitarle este peso para que vuelva a quedar en $876$; podemos quitar por ejemplo la pesa de $1$ gramo y la de $40$ gramos. Entonces estas dos pesas irian al tercer grupo junto a todas las restantes.

Entonces los grupos resultantes son:

Grupo $1$: las pesas desde $2$ gramos hasta $39$ gramos (excepto la de $31$ gramos), la pesa de $56$ gramos y la de $72$ gramos.
Grupo $2$: las pesas desde $59$ hasta $71$ gramos y la de $31$ gramos.
Grupo $3$: las pesas desde $40$ gramos hasta $58$ gramos (excepto la de $56$ gramos) y la pesa de $1$ gramo.

[Jano Ochoa Questa]

listo

[mszew]

Se tienen $72$ pesas que pesan $1\text{ gr},2\text{ gr},3\text{ gr},\ldots ,72\text{ gr}$(todos los pesos enteros desde $1$ hasta $72$ gramos). Distribuir las $72$ pesas en tres grupos de modo tal que los tres grupos sean de igual peso.

Aclaración: Los grupos pueden tener distintas cantidades de pesas.

Un spin off del problema pero mas dificil cuales son todos los numeros como el $72$ que se puede hacer esto?