En basquetbol, llamamos coeficiente de eficacia de un jugador al resultado de dividir la cantidad de tiros libres embocados por la cantidad de tiros libres ejecutados. Al finalizar el primer tiempo el coeficiente de eficacia de Mateo era menor que $\dfrac{3}{4}$, y al finalizar el partido era mayor que $\dfrac{3}{4}$. ¿Se puede afirmar con certeza que hubo un momento en el que su coeficiente de eficacia fue exactamente $\dfrac{3}{4}$ ? Responder la misma pregunta para $\dfrac{3}{5}$ en lugar de $\dfrac{3}{4}$.
En vez de mirar el coeficiente de eficacia, hay que mirar el coeficiente de ineficacia que empieza siendo mayor a 1/4 y termina siendo menor a 1/4.
entonces en el primer tiempo erra x_1 y tira y_1: y_1<4*x_1.
en el total del partido erra x_t y tira y_t: y_t >4*x_t.
tomando en cuenta que la sucesión de tirados es creciente y la de errados es no decreciente hay que fijarse que pasa en el momento que tiró exactamente 4*k libres, con k entero y y_1<4*k<y_t
Supongamos que no hubo un momento en el que el coeficiente de eficacia de Mateo fue exactamente [math]\frac{3}{4}.
Como al finalizar el primer tiempo el coeficiente de eficacia de Mateo era menor que [math]\frac{3}{4}, y al finalizar el partido era mayor que [math]\frac{3}{4}, entonces hubo un momento en el segundo tiempo en el que su coeficiente de eficacia pasó de ser menor que [math]\frac{3}{4} a ser mayor que [math]\frac{3}{4} sin pasar por exactamente [math]\frac{3}{4}. Entonces, sean [math]a y [math]b números enteros no negativos tales que [math]\frac{a}{b}<\frac{3}{4} y tales que su próximo coeficiente de eficacia sea mayor que [math]\frac{3}{4}.
Entonces:
[math]1): Si Mateo erra su tiro, su próximo coeficiente de eficacia será: [math]\frac{a}{b+1}. Luego, [math]\frac{a}{b}<\frac{a}{b+1}\Leftrightarrow ab+a<ab\Leftrightarrow a<0, pero sabemos que [math]a>0, llegando a una contradicción.
[math]2):Si Mateo emboca su tiro, su próximo coeficiente de eficacia será: [math]\frac{a+1}{b+1}. Luego: [math]\frac{a}{b}<\frac{3}{4}<\frac{a+1}{b+1}.
Por un lado, tenemos que: [math]\frac{a}{b}<\frac{3}{4}\Leftrightarrow 4a<3b. Como [math]4a y [math]3b son números enteros, entonces: [math]4a+1\leq3b. [math](1)
Por otro lado, tenemos que: [math]\frac{3}{4}<\frac{a+1}{b+1}\Leftrightarrow 3b+3<4a+4\Leftrightarrow 3b<4a+1. Nuevamente, como [math]3b y [math]4a+1 son números enteros, entonces: [math]3b+1\leq4a+1\Leftrightarrow 3b\leq4a. [math](2)
De [math](1) y [math](2): [math]4a+1\leq3b\leq4a. Luego: [math]4a+1\leq4a\Leftrightarrow1\leq 0. Luego, como [math]1>0, llegamos a una contradicción, por lo que se puede afirmar con certeza que hubo un momento en el que el coeficiente de eficacia de Mateo fue exactamente [math]\frac{3}{4}.
