Rioplatense 2016 - N3 P4

[Prillo]

Sea [math]c > 1 un numero real. Una funcion [math]f : [0,1] \rightarrow \mathbb R se llama [math]c-amigable si [math]f(0) = 0, f(1) = 1 y [math]|f(x) - f(y)| \le c|x - y| para todos los numeros [math]x,y \in [0,1]. Hallar el maximo de la expresion [math]|f(x) - f(y)| sobre todas las funciones [math]c-amigables [math]f y todos los numeros [math]x,y \in [0,1].

[jhn]

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El máximo es [math](c+1)/2. Si [math]f cumple la condición entonces es continua y tiene máximo [math]M\ge 1 y mínimo [math]m\le 0. Es claro que el máximo de [math]|f(x) - f(y)| es [math]M-m. Sean [math]a,b\in[0,1] tales que [math]f(a)=m y [math]f(b)=M. Si [math]a<b entonces [math]-m\le ca, [math]M-m\le c(b-a) y [math]M-1\le c(1-b). Sumando miembro a miembro resulta [math]2(M-m)-1\le c, de donde [math]M-m\le (c+1)/2. Si [math]a>b entonces [math]M\le bc, [math]M-m\le c(a-b) y [math]1-m\le c(1-a). Sumando miembro a miembro resulta [math]2(M-m)+1\le c, de donde [math]M-m\le (c-1)/2< (c+1)/2.

La función lineal a trozos [math]f(x)=cx para [math]0\le x\le (c+1)/(2c), [math]f(x)=c+1-cx para [math](c+1)/(2c)\le x\le 1 es [math]c-amigable y tiene [math]m=0, [math]M=(c+1)/2, por lo tanto el valor [math]M-m=(c+1)/2 se alcanza y es el máximo.