Un problema muy bonito de sumatorias.

[Emerson Soriano]

Calcular la siguiente suma [math]\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}\hspace{-0.4cm}ijk.

[Violeta]

Reales o enteros?

[Emerson Soriano]

Enteros.

[3,14]

Hint:

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Considerar el producto [math](1+2+...+n)(1+2+...+n)(1+2+..+n) e intentar manipularlo para llegar a la suma pedida.

[Dauphineg]

La suma es (n^2.(n+1)^2.(n-1).(n-2))/48 y puede probarse por induccion

[Violeta]

La suma es (n^2.(n+1)^2.(n-1).(n-2))/48 y puede probarse por induccion

Ponlo en spoilers... quería pensarlo.

[jhn]

Pues piensa cómo se puede descubrir esa expresión.

[3,14]

Para resolverlo sin inducción y con el hint que di:

Spoiler: mostrar

Notemos que en el producto [math](1+2+...+n)(1+2+...+n)(1+2+...+n) están todos los sumandos que queremos [math]3!=6 veces (solo nos interesa uno solo, el que tiene sus factores ordenados de menor a mayor), pero nos sobran algunos: los de la forma [math]i^3, [math]1\leq i\leq n, y los de la forma [math]i^2j, [math]i\neq j, que aparecen 3 veces. Para computar entonces el valor pedido, debemos calcular:
[math]\frac {(1+2+...+n)^3-\sum_{i=1}^n i^3-3\sum_{1\leq i\neq j\leq n} i^2j}{6} (*)
Es conocido que:
[math]\sum_{i=1}^n i^3=\frac {n^2(n+1)^2}{4}
Y ahora podemos computar la otra suma (la llamo [math]S_2):
[math]S_2=(1^2+2^2+...+n^2)(1+2+...+n)-(1^3+2^3+3^3-...+n^3)=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}.\frac {n(n+1)}{2}-\frac {n^2(n+1)^2}{4}
Si ahora reemplazamos las sumas en la expresión (*), y efectuamos todas las manipulaciones necesarias, llegaremos a que:
[math]\frac {n^2(n+1)^2(n-1)(n-2)}{48}