Sucesiones y diofánticas

Sucesiones y diofánticas

UNREAD_POSTpor Violeta » Dom 12 Feb, 2017 7:02 pm

Sea $a_1, a_2, \ldots$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Probar que para cualquier $p \geq 1$, existen infinitos $a_m$ que se pueden escribir de la forma:

$a_m = xa_p + ya_q$

para ciertos enteros postivos $x,y$ y $q>p$.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
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Re: Sucesiones y diofánticas

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 01 Oct, 2017 9:45 pm

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Por el Algoritmo de Euclides (o Identidad de Bézout) sabemos que que si $d=DCM(a;b)$, entonces existen soluciones enteras para $d=ax+by$.
Ahora veamos que podemos elegir un número que divida a $3$ de los enteros de la sucesión para llegar a la solución. En un grupo de $n+1$ elementos en el cual todos son producto de al menos $n$ primos, hay tres $a_p$, $a_q$, $a_m$ tales que $DCM(a_p;a_q)\mid a_m$ por Palomar (pueden ser coprimos). Entonces podemos obtener una solución para $d=xa_p+ya_q$ y luego multiplicar por $\frac{a_m}{d}$ (que es entero, ya que $d=DCM(a_p;a_q)\Rightarrow d\mid a_m$) y obtener una solución para $a_m=x'a_p+y'a_q$. Como la sucesión es infinita, podemos dejar fijo $p$ y hacer esto para infinitos grupos de otros $n$ elementos disjuntos, por lo tanto queda demostrado que hay infinitos $a_m$ que se pueden escribir de esa manera para cada $p\geq 1$.
$e^{i\pi}+1=0$

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