Sucesiones y diofánticas

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial
Mensajes: 323
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 2
Ubicación: Puerto Rico

Sucesiones y diofánticas

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Feb, 2017 7:02 pm

Sea [math] una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Probar que para cualquier [math], existen infinitos [math] que se pueden escribir de la forma:

[math]

para ciertos enteros postivos [math] y [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 417
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: Sucesiones y diofánticas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 01 Oct, 2017 9:45 pm

Spoiler: mostrar
Por el Algoritmo de Euclides (o Identidad de Bézout) sabemos que que si [math], entonces existen soluciones enteras para [math].
Ahora veamos que podemos elegir un número que divida a [math] de los enteros de la sucesión para llegar a la solución. En un grupo de [math] elementos en el cual todos son producto de al menos [math] primos, hay tres [math], [math], [math] tales que [math] por Palomar (pueden ser coprimos). Entonces podemos obtener una solución para [math] y luego multiplicar por [math] (que es entero, ya que [math]) y obtener una solución para [math]. Como la sucesión es infinita, podemos dejar fijo [math] y hacer esto para infinitos grupos de otros [math] elementos disjuntos, por lo tanto queda demostrado que hay infinitos [math] que se pueden escribir de esa manera para cada [math].
1  
[math]

Responder