Ecuacion funcional

Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor xyz » Vie 14 Jul, 2017 2:30 pm

Hallar todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen
$f(f(x))+yf(x)=f(f(x)f(y))$
para todos $x,y \in \mathbb{R}$

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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor Violeta » Vie 14 Jul, 2017 9:13 pm

Linda.

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Asumamos que $f(x) \neq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, pues trivialmente $f(x)=0$ cumple.

Entonces, $f(x)$ es sobreyectiva porque si tomamos $x$ tal que $f(x) \neq 0$, $y = \frac{c-f(f(x))}{f(x)}$ y $n = f(x)f(y)$, implica que

$f(f(x)) + c - f(f(x)) = c = f(n)$.

Especificamente, existe $\alpha$ tal que $f(\alpha) = 1$

Ahora, digamos $x=\alpha$: $f(1) + y = f(f(\alpha)) + yf(\alpha) = f(f(\alpha)f(y)) = f(f(y))$

Ahora, $f(x)$ tambien es inyectiva porque si $f(a) = f(b) \Rightarrow f(f(a))=f(f(b)) \Rightarrow f(1)+a=f(1)+b \Rightarrow a=b$.

Si escogemos $y=0$, se obtiene que $f(f(x)) = f(f(x)f(0)) \Rightarrow f(x)=f(x)f(0)$ para todo $x$, de donde $f(0)=1$, por ser $f(x)$ distinto de $0$ para por lo menos un $x$.

Ahora consideramos dos casos: $f(1) = 0$ y $f(1) \neq 0$:

Si $f(1) = 0$, reemplazando $y=1$ y $f(f(x))=f(1)+x=x$ en la ecuacion original se obtiene:

$x+f(x)=1 \Rightarrow f(x)=1-x$
-------------------------------------------------------
Caso $f(1) \neq 0$:

Ahora, escogemos $y=\beta$, tal que $f(\beta)=0$ y reemplazamos $f(f(x))=x+f(1)$ en la ecuacion original:

$f(1) + x + \beta f(x) = f(f(x)f(\beta ))=f(f(x) \cdot 0) = f(0)=1$

Ahora bien, digamos $x=1$:

$f(1)+1+\beta f(1) =1 \Rightarrow f(1)(\beta +1) = 0 \Rightarrow \beta=-1.$

Finalmente, si $x=0$:

$f(1) + 0 -f(0) = f(1)-1=1$ y $f(1)=2$.

Ya con esto podemos ver que: $2 + x -f(x) = 1 \Rightarrow f(x)=x+1$ y le dejo al lector comprobar que $f(x)=x+1$ y $f(x) = 1-x$ satisfacen la ecuacion original.

En fin, las únicas funciones que satisfacen son $f(x)=0$, $f(x)=1-x$ y $f(x)=x+1$.
Última edición por Violeta el Sab 15 Jul, 2017 7:58 pm, editado 5 veces en total
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.

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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor xyz » Vie 14 Jul, 2017 10:47 pm

Ahora bien, digamos $x=1$ (sabemos que $f(1) \neq 0$, porque implicaria $1=0$)

f(1) no tiene porque ser distinto de 0 :shock:

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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor MateoCV » Vie 14 Jul, 2017 11:06 pm

Claro, fijate que
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$f(x)=1-x$ también anda
$2^{74207281}-1$ es primo
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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor Violeta » Sab 15 Jul, 2017 12:07 am

MateoCV escribió:Claro, fijate que
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$f(x)=1-x$ también anda


Vale, ya lo arreglé. Me fui en automático y pensé que $f(0)=0$.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor FaC7oR » Sab 15 Jul, 2017 10:51 pm

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$(A)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(x))+yf(x)=f(f(x)f(y))$

Vamos a probar inyectividad, decimos que existen $a,b\in \mathbb{R}\: :\:f(a)=f(b)$

Reemplazamos $x=y=a$

$(B)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(a))+af(a)=f(f(a)f(a))$

Reemplazamos $x=y=b$

$(C)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(b))+bf(b)=f(f(b)f(b))$

Como $f(a)=f(b)$ reemplazamos en $(B)$

$(D)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(b))+af(b)=f(f(b)f(b))$

Igualamos $(C)$ y $(D)$

$f(f(b))+af(b)=f(f(b))+bf(b)$

De donde se despeja

$a=b$ como queríamos, por lo tanto $f$ es inyectiva

Reemplazamos $x=y=0$ y queda

$f(f(0))=f(f^2(0))$

Por inyectividad de $f$ obtenemos $f(0)=f^2(0)$ por lo que, o bien $f(0)=0$, o $f(0)=1$

Para $f(0)=0$ reemplazamos en $(A)$ por $y=0$ y se obtiene

$f(f(x))=f(0)$ de donde, por inyectividad de $f$ vemos que $f(x)=0$

Para $f(0)=1$ reemplazamos $x=0$

$(E)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(1)+y=f(f(y))$ de aquí se ve que $f$ es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva

Usando $(E)$ en $(A)$

$(F)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x+f(1)+yf(x)=f(f(x)f(y))$

Reemplazamos $x=1$ e $y=-1$ en $(F)$

$1=f(f(1)f(-1))$ pero la función es biyectiva y sabemos que únicamente $f(0)=1$ por lo que $f(1)f(-1)=0$

De esto último o bien $f(-1)=0$ o $f(1)=0$

Para $f(1)=0$ tomamos $(F)$ y reemplazamos $y=1$ y queda

$x+f(x)=f(0)\to x+f(x)=1$

$f(x)=1-x$

Ahora para $f(-1)=0$ tomamos $(F)$ y reemplazamos $x=0$ e $y=-1$ obteniendo

$f(1)=2$

Tomamos esta última igualdad y reemplazamos $y=-1$ en $(F)$

$x+2-f(x)=f(0)\to x+2-f(x)=1$

$f(x)=x+1$

Por lo tanto las únicas soluciones a la ecuación propuesta son

$f(x)=0 \\ f(x)=1-x \\ f(x)=x+1$

y estamos
$lim_{j\to \infty}\:\sum_{i=k}^{j} \left ( \frac{n}{m}\right )^i=\frac{n^k}{m^{k-1}(m-n)}\:\:\forall\:n<m$

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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor lucasdeamorin » Dom 16 Jul, 2017 10:19 pm

FaC7oR escribió:
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$(A)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(x))+yf(x)=f(f(x)f(y))$

Vamos a probar inyectividad, decimos que existen $a,b\in \mathbb{R}\: :\:f(a)=f(b)$

Reemplazamos $x=y=a$

$(B)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(a))+af(a)=f(f(a)f(a))$

Reemplazamos $x=y=b$

$(C)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(b))+bf(b)=f(f(b)f(b))$

Como $f(a)=f(b)$ reemplazamos en $(B)$

$(D)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(f(b))+af(b)=f(f(b)f(b))$

Igualamos $(C)$ y $(D)$

$f(f(b))+af(b)=f(f(b))+bf(b)$

De donde se despeja

$a=b$ como queríamos, por lo tanto $f$ es inyectiva

Reemplazamos $x=y=0$ y queda

$f(f(0))=f(f^2(0))$

Por inyectividad de $f$ obtenemos $f(0)=f^2(0)$ por lo que, o bien $f(0)=0$, o $f(0)=1$

Para $f(0)=0$ reemplazamos en $(A)$ por $y=0$ y se obtiene

$f(f(x))=f(0)$ de donde, por inyectividad de $f$ vemos que $f(x)=0$

Para $f(0)=1$ reemplazamos $x=0$

$(E)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(1)+y=f(f(y))$ de aquí se ve que $f$ es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva

Usando $(E)$ en $(A)$

$(F)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x+f(1)+yf(x)=f(f(x)f(y))$

Reemplazamos $x=1$ e $y=-1$ en $(F)$

$1=f(f(1)f(-1))$ pero la función es biyectiva y sabemos que únicamente $f(0)=1$ por lo que $f(1)f(-1)=0$

De esto último o bien $f(-1)=0$ o $f(1)=0$

Para $f(1)=0$ tomamos $(F)$ y reemplazamos $y=1$ y queda

$x+f(x)=f(0)\to x+f(x)=1$

$f(x)=1-x$

Ahora para $f(-1)=0$ tomamos $(F)$ y reemplazamos $x=0$ e $y=-1$ obteniendo

$f(1)=2$

Tomamos esta última igualdad y reemplazamos $y=-1$ en $(F)$

$x+2-f(x)=f(0)\to x+2-f(x)=1$

$f(x)=x+1$

Por lo tanto las únicas soluciones a la ecuación propuesta son

$f(x)=0 \\ f(x)=1-x \\ f(x)=x+1$

y estamos

Che, cuando igualas $(C)$ y $(D)$ te queda $af(b)=bf(a)$. Como despejas para que te quede $a=b$ si $f(b)=0$?
Si X tiende a $\infty$, $\infty$ se seca.

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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor FaC7oR » Mar 18 Jul, 2017 1:56 pm

lucasdeamorin escribió:Che, cuando igualas $(C)$ y $(D)$ te queda $af(b)=bf(a)$. Como despejas para que te quede $a=b$ si $f(b)=0$?

Está bien lo que marcás, debemos suponer que $f$ no es constante para demostrar la inyectividad, las $f$ constantes las calculamos con $f=k$ y luego para $f(0)=0$ no existen soluciones no constantes, error de mi parte usar inyectividad para encontrar un $f(x)=k$
Solo queda demostrar qué pasa si existen $a,b\in \mathbb{R} :\:f(a)=f(b)=0$
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Re: Ecuacion funcional

UNREAD_POSTpor FaC7oR » Mar 18 Jul, 2017 2:08 pm

lucasdeamorin escribió:Che, cuando igualas $(C)$ y $(D)$ te queda $af(b)=bf(a)$. Como despejas para que te quede $a=b$ si $f(b)=0$?

Spoiler: Mostrar
Seguimos con la suposición de que ahora $f$ no es constante y que $f(a)=f(b)=0$

Reemplazamos en $(A)$ por $y=a$ y luego por $y=b$, queda

$f(f(x))+af(x)=f(0)$

$f(f(x))+bf(x)=f(0)$

Ahora para $c\in \mathbb{R} :\:f(c)\neq 0$ reemplazamos $x=c$ e igualamos ambas ecuaciones

$f(f(c))+af(c)=f(f(c))+bf(c)$

Y ahora sí $a=b$ y se sigue
$lim_{j\to \infty}\:\sum_{i=k}^{j} \left ( \frac{n}{m}\right )^i=\frac{n^k}{m^{k-1}(m-n)}\:\:\forall\:n<m$

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