Ecuacion funcional

xyz

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Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por xyz » Vie 14 Jul, 2017 2:30 pm

Hallar todas las funciones [math] que satisfacen
[math]
para todos [math]

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Violeta

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por Violeta » Vie 14 Jul, 2017 9:13 pm

Linda.
Spoiler: mostrar
Asumamos que [math] para todo [math], pues trivialmente [math] cumple.

Entonces, [math] es sobreyectiva porque si tomamos [math] tal que [math], [math] y [math], implica que

[math].

Especificamente, existe [math] tal que [math]

Ahora, digamos [math]: [math]

Ahora, [math] tambien es inyectiva porque si [math].

Si escogemos [math], se obtiene que [math] para todo [math], de donde [math], por ser [math] distinto de [math] para por lo menos un [math].

Ahora consideramos dos casos: [math] y [math]:

Si [math], reemplazando [math] y [math] en la ecuacion original se obtiene:

[math]
-------------------------------------------------------
Caso [math]:

Ahora, escogemos [math], tal que [math] y reemplazamos [math] en la ecuacion original:

[math]

Ahora bien, digamos [math]:

[math]

Finalmente, si [math]:

[math] y [math].

Ya con esto podemos ver que: [math] y le dejo al lector comprobar que [math] y [math] satisfacen la ecuacion original.

En fin, las únicas funciones que satisfacen son [math], [math] y [math].
Última edición por Violeta el Sab 15 Jul, 2017 7:58 pm, editado 5 veces en total.
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

xyz

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por xyz » Vie 14 Jul, 2017 10:47 pm

Ahora bien, digamos [math] (sabemos que [math], porque implicaria [math])
f(1) no tiene porque ser distinto de 0 :shock:

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MateoCV

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por MateoCV » Vie 14 Jul, 2017 11:06 pm

Claro, fijate que
Spoiler: mostrar
[math] también anda
[math] es primo

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Violeta

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por Violeta » Sab 15 Jul, 2017 12:07 am

MateoCV escribió:Claro, fijate que
Spoiler: mostrar
[math] también anda
Vale, ya lo arreglé. Me fui en automático y pensé que [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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FaC7oR
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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por FaC7oR » Sab 15 Jul, 2017 10:51 pm

Spoiler: mostrar
[math]

Vamos a probar inyectividad, decimos que existen [math]

Reemplazamos [math]

[math]

Reemplazamos [math]

[math]

Como [math] reemplazamos en [math]

[math]

Igualamos [math] y [math]

[math]

De donde se despeja

[math] como queríamos, por lo tanto [math] es inyectiva

Reemplazamos [math] y queda

[math]

Por inyectividad de [math] obtenemos [math] por lo que, o bien [math], o [math]

Para [math] reemplazamos en [math] por [math] y se obtiene

[math] de donde, por inyectividad de [math] vemos que [math]

Para [math] reemplazamos [math]

[math] de aquí se ve que [math] es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva

Usando [math] en [math]

[math]

Reemplazamos [math] e [math] en [math]

[math] pero la función es biyectiva y sabemos que únicamente [math] por lo que [math]

De esto último o bien [math] o [math]

Para [math] tomamos [math] y reemplazamos [math] y queda

[math]

[math]

Ahora para [math] tomamos [math] y reemplazamos [math] e [math] obteniendo

[math]

Tomamos esta última igualdad y reemplazamos [math] en [math]

[math]

[math]

Por lo tanto las únicas soluciones a la ecuación propuesta son

[math]

y estamos
1  
[math]

[math]

lucasdeamorin

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por lucasdeamorin » Dom 16 Jul, 2017 10:19 pm

FaC7oR escribió:
Spoiler: mostrar
[math]

Vamos a probar inyectividad, decimos que existen [math]

Reemplazamos [math]

[math]

Reemplazamos [math]

[math]

Como [math] reemplazamos en [math]

[math]

Igualamos [math] y [math]

[math]

De donde se despeja

[math] como queríamos, por lo tanto [math] es inyectiva

Reemplazamos [math] y queda

[math]

Por inyectividad de [math] obtenemos [math] por lo que, o bien [math], o [math]

Para [math] reemplazamos en [math] por [math] y se obtiene

[math] de donde, por inyectividad de [math] vemos que [math]

Para [math] reemplazamos [math]

[math] de aquí se ve que [math] es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva

Usando [math] en [math]

[math]

Reemplazamos [math] e [math] en [math]

[math] pero la función es biyectiva y sabemos que únicamente [math] por lo que [math]

De esto último o bien [math] o [math]

Para [math] tomamos [math] y reemplazamos [math] y queda

[math]

[math]

Ahora para [math] tomamos [math] y reemplazamos [math] e [math] obteniendo

[math]

Tomamos esta última igualdad y reemplazamos [math] en [math]

[math]

[math]

Por lo tanto las únicas soluciones a la ecuación propuesta son

[math]

y estamos
Che, cuando igualas [math] y [math] te queda [math]. Como despejas para que te quede [math] si [math]?
Si X tiende a [math], [math] se seca.

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por FaC7oR » Mar 18 Jul, 2017 1:56 pm

lucasdeamorin escribió: Che, cuando igualas [math] y [math] te queda [math]. Como despejas para que te quede [math] si [math]?
Está bien lo que marcás, debemos suponer que [math] no es constante para demostrar la inyectividad, las [math] constantes las calculamos con [math] y luego para [math] no existen soluciones no constantes, error de mi parte usar inyectividad para encontrar un [math]
Solo queda demostrar qué pasa si existen [math]
[math]

[math]

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Re: Ecuacion funcional

Mensaje sin leer por FaC7oR » Mar 18 Jul, 2017 2:08 pm

lucasdeamorin escribió:Che, cuando igualas [math] y [math] te queda [math]. Como despejas para que te quede [math] si [math]?
Spoiler: mostrar
Seguimos con la suposición de que ahora [math] no es constante y que [math]

Reemplazamos en [math] por [math] y luego por [math], queda

[math]

[math]

Ahora para [math] reemplazamos [math] e igualamos ambas ecuaciones

[math]

Y ahora sí [math] y se sigue
[math]

[math]

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