IMO 2017 - P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Violeta

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Mensaje sin leer por Violeta »

Para cada entero $a_0>1$, se define la sucesión $a_0,~a_1,~a_2,~\ldots$ tal que para cada $n \geq 0$:
  1. $a_{n+1}=\sqrt{a_n}$, si $\sqrt{a_n}$ es entero.
  2. $a_{n+1}=a_n+3$ de otro caso.
Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
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Violeta

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Re: IMO 2017 - P1

Mensaje sin leer por Violeta »

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Llamamos a un [math] que cumple la condición del enunciado cíclico. De otro modo, diremos que [math] no-cíclico.

Queremos ver que solamente los multiplos de [math] son cíclicos, pero primero hacemos una observación importante: si cualquier [math] es no-cíclico, [math] es no-cíclico. No lo voy a probar, pero no es muy dificil de ver. Lo opuesto tambien es cierto: si cualquier [math] es cíclico, [math] es cíclico (este es mas facil verlo).

Caso 1: [math]

Como los residuos cuadráticos mod 3 son solo [math] y [math], [math] no es cuadrado perfecto, de donde [math] y se deduce que [math] tampoco es cuadrado perfecto. Aplicando este mismo razonamiento vemos que ningún [math] es cuadrado perfecto y cada término es tres más que el previo y trivialmente no habría dos términos iguales.

Caso 2: [math].

Lo probaremos por inducción fuerte:

Si [math], [math] y ya sabemos que [math] es no-cíclico.

Ahora, consideremos [math], tal que todo [math] es no-ciclico. Sea [math] tal que [math]. Como [math]. Si [math], [math] y sigue que [math] es no-clicico. Notamos por lo menos uno de [math] o [math] es congruente a [math] mod 3. Es decir, si [math], existe [math] o [math], porque los [math] recorren todos lo números que son uno más que un múltiplo de [math], hasta que llegan a un cuadrado perfecto, que en este caso sería [math] o [math]. Ahora bien, si [math], entonces [math] o [math], respectivamente. De todos modos, vemos que *[math] y [math] es no-clicico.

*La desigualdad [math] de hecho ocurre si [math].

Caso 3: [math].

Consideremos [math] y [math] es ciclico. Consideremos [math], tal que todo [math] es ciclico. Digamos que [math] es tal que [math]. Si [math], de donde [math] es ciclico. Si [math], los [math] recorrerán todos los multiplos de [math] hasta llegar a [math], que es el cuadrado perfecto múltiplo de tres mas cercano a [math]. Digamos [math]. Si [math], [math] es ciclico y [math] seria ciclico. Si [math], es trivial que [math] es ciclico. Si [math], existe [math], tal que [math] (pues los [math] son todos los multiplos de 3 entre [math] y [math] y [math] está en ese rango) y [math] seria ciclico.

En fin, solo los [math] multiplos de [math] cumplen la condicion del enunciado.
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
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Gianni De Rico

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Re: IMO 2017 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Otra:
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Aclaración: En los dos primeros casos uso la verisón generalizada de algo que yo conozco como "Tam-Tam", que dice "Si a un entero $x\equiv y(z)$ le sumamos $nz$ (con $n$ entero positivo), pasamos por todos los enteros $e\equiv y(z)$ con $x<e\leq nz$", en el problema, $y=0\vee 1$ y $z=3$.


Dividimos el problema en $3$ casos.

Caso $1$: $a_0\equiv 0(3)$
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Si $a_0\leq 9$, entonces el valor de $a_n$ vuelve a $3$ eventualmente, por lo que la sucesión entra en un ciclo, es decir, se repetirá infinitamente.

Ahora, es claro que para cualquier $x>5$ entero, $x<(x-3)^2<(x-2)^2<(x-1)^2<x^2$. Entonces cuando la sucesión llegue a un cuadrado perfecto congruente a $0$ módulo $3$ (cosa que eventualmente ocurre), el valor se reducirá, pero el siguiente cuadrado perfecto al que llegue será menor que el anterior, por lo que el valor volverá a reducirse, y así hasta que eventualmente llegue a $a_n\leq 9$, entrando en un ciclo.
Caso $2$: $a_0\equiv 1(3)$
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Si $a_0\leq 16$, la sucesión eventualmente llegará a $16$ (o comenzará en $4$), de ahí pasará a $4$ y finalmente a $2$, por lo que estamos en el Caso $3$.

Usando que para cualquier $x>5$ entero, $x<(x-3)^2<(x-2)^2<(x-1)^2<x^2$, vemos que cuando la sucesión llegue a un cuadrado perfecto congruente a $1$ módulo $3$ (cosa que eventualmente ocurre), el valor se reducirá, pero el siguiente cuadrado perfecto al que llegue será menor que el anterior, por lo que el valor volverá a reducirse, y así hasta que eventualmente llegue a $a_n\leq 16$, o a un cuadrado de la forma $(3k+2)^2$, de forma que sabemos que llegamos al Caso $3$.
Caso $3$: $a_0\equiv 2(3)$
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Usando los residuos cuadráticos módulo $3$ tenemos:
$x\equiv 1(3)\Rightarrow x^2\equiv 1(3)$
$x\equiv 2(3)\Rightarrow x^2\equiv 1(3)$
$x\equiv 0(3)\Rightarrow x^2\equiv 0(3)$

Entonces no hay ningún cuadrado perfecto de la forma $3k+2$, por lo tanto, lo único que se puede hacer es sumar $3$, pero como esto mantiene la congruencia módulo $3$, estaremos sumando infinitamente $3$, por lo tanto, todos los números serán distintos, y no existe $A$.
Finalmente, los valores de $a_0$ para los que existe un $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$ son los múltiplos de $3$
Última edición por Gianni De Rico el Jue 20 Jul, 2017 9:44 am, editado 1 vez en total.
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¿hola?

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Re: IMO 2017 - P1

Mensaje sin leer por ¿hola? »

En el caso 2 cuando decis que cuando llegue a un cuadrado perfecto se redusira y así llegara a 4, podria pasar que en el medio se encuentre con un cuadrado de la forma (3k+2)^2 y ahí comienza a acender infinitamente ( Ej: 61) igual sigue siendo imposible encontrar un A pero creo que hacia falta aclararlo.
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Gianni De Rico

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Re: IMO 2017 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Me olvidé de aclararlo, je, ahora lo edito
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Tomás Morcos Porras

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Re: IMO 2017 - P1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

Una pregunta:
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Está bien que entre los enteros positivos se cumpla solo para los múltiplos de $3$ y el $1$, ¿pero en los negativos no se cumpliría además para los congruentes a $1\pmod{3}$? $$a_0=-2$$ $$\sqrt{-2}\notin \mathbb{Z}\Rightarrow a_1=-2+3=1$$ Y como $1$ se repite infinitamente, entonces $-2$ vale, y todos los negativos de este resto suman $3$ hasta llegar a $-2$, por lo que sufren su misma suerte.
Última edición por Tomás Morcos Porras el Sab 05 Jun, 2021 10:41 pm, editado 1 vez en total.
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Matías V5

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Re: IMO 2017 - P1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Tomás Morcos Porras escribió: Sab 05 Jun, 2021 5:16 pm Una pregunta:
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Está bien que entre los enteros positivos se cumpla solo para los múltiplos de $3$ y el $1$, ¿pero en los negativos no se cumpliría además para los congruentes a $1\pmod{3}$? $$a_0=-2$$ $$\sqrt{-2}\notin \mathbb{Z}\Rightarrow a_1=-2+3=1$$ Y como $1$ se repite infinitamente, entonces $-2$ vale, y todos los negativos de este resto suman $3$ hasta llegar a $-2$, por lo que sufren su misma suerte.
Sí, si extendieras la definición del enunciado para cualquier $a_0$ entero lo único que cambia es que al principio sumarías $3$ hasta llegar a un positivo así que te quedaría la respuesta que decís vos. Por supuesto, eso no es parte de lo que pide hacer el problema, sólo hay que analizar los casos donde $a_0 > 1$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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