Llamamos a un [math]a_0 que cumple la condición del enunciado cíclico. De otro modo, diremos que [math]a_0no-cíclico.
Queremos ver que solamente los multiplos de [math]3 son cíclicos, pero primero hacemos una observación importante: si cualquier [math]a_i es no-cíclico, [math]a_0 es no-cíclico. No lo voy a probar, pero no es muy dificil de ver. Lo opuesto tambien es cierto: si cualquier [math]a_i es cíclico, [math]a_0 es cíclico (este es mas facil verlo).
Caso 1: [math]a_0 \equiv 2 \pmod{3}
Como los residuos cuadráticos mod 3 son solo [math]0 y [math]1, [math]a_0 no es cuadrado perfecto, de donde [math]a_1 = a_0 +3 \Rightarrow a_1 \equiv a_0 \equiv 2 \pmod{3} y se deduce que [math]a_1 tampoco es cuadrado perfecto. Aplicando este mismo razonamiento vemos que ningún [math]a_i es cuadrado perfecto y cada término es tres más que el previo y trivialmente no habría dos términos iguales.
Caso 2: [math]a_0 \equiv 1 \pmod{3}.
Lo probaremos por inducción fuerte:
Si [math]a_0 =4, [math]a_2=2 \equiv 2 \pmod{3} y ya sabemos que [math]4 es no-cíclico.
Ahora, consideremos [math]k \geq 7, tal que todo [math]n<k, n\equiv 1 \pmod{3} es no-ciclico. Sea [math]c tal que [math]c^2 < k < (c+1)^2. Como [math]k \geq 7, c\geq 2. Si [math]c^2=k=a_0, [math]a_1 = c < c^2 < k y sigue que [math]k es no-clicico. Notamos por lo menos uno de [math](c+1)^2 o [math](c+2)^2 es congruente a [math]1 mod 3. Es decir, si [math]k=a_0, existe [math]a_i=(c+1)^2 o [math]a_i=(c+2)^2, porque los [math]a_i recorren todos lo números que son uno más que un múltiplo de [math]3, hasta que llegan a un cuadrado perfecto, que en este caso sería [math](c+1)^2 o [math](c+2)^2. Ahora bien, si [math]a_i= (c+1)^2,(c+2)^2, entonces [math]a_{i+1}=c+1 o [math]a_{i+1}=c+2, respectivamente. De todos modos, vemos que *[math]c+1 < c+2 \leq c^2 < k y [math]k es no-clicico.
*La desigualdad [math]c+2 \leq c^2 de hecho ocurre si [math]c \geq.
Caso 3: [math]3 \mid a_0.
Consideremos [math]a_0=3 \Rightarrow a_1 = 6 \Rightarrow a_2 = 9 \Rightarrow a_3 = 3 y [math]3 es ciclico. Consideremos [math]k, tal que todo [math]n<k, 3\mid n es ciclico. Digamos que [math]c es tal que [math]9c^2 \leq k < 9(c+1)^2. Si [math]a_0 =k = 9c^2, a_1 = 3c < 9c^2, de donde [math]k es ciclico. Si [math]a_0 =k \neq 9c^2, los [math]a_i recorrerán todos los multiplos de [math]3 hasta llegar a [math]9(c+1)^2, que es el cuadrado perfecto múltiplo de tres mas cercano a [math]k. Digamos [math]a_i=9(c+1)^2 \Rightarrow a_{i+1}=3(c+1). Si [math]a_{i+1} < a_0=k, [math]a_{i+1} es ciclico y [math]k seria ciclico. Si [math]a_{i+1}=a_0=k, es trivial que [math]a_0 es ciclico. Si [math]a_{i+1}>a_0=k, existe [math]j, 0 < j < i+1, tal que [math]a_j = a_{j+1} (pues los [math]a_k, 0 \leq k \leq i son todos los multiplos de 3 entre [math]k y [math]9(c+1)^2 y [math]a_{i+1} está en ese rango) y [math]a_0=k seria ciclico.
En fin, solo los [math]a_0 multiplos de [math]3 cumplen la condicion del enunciado.
Aclaración: En los dos primeros casos uso la verisón generalizada de algo que yo conozco como "Tam-Tam", que dice "Si a un entero $x\equiv y(z)$ le sumamos $nz$ (con $n$ entero positivo), pasamos por todos los enteros $e\equiv y(z)$ con $x<e\leq nz$", en el problema, $y=0\vee 1$ y $z=3$.
Si $a_0\leq 9$, entonces el valor de $a_n$ vuelve a $3$ eventualmente, por lo que la sucesión entra en un ciclo, es decir, se repetirá infinitamente.
Ahora, es claro que para cualquier $x>5$ entero, $x<(x-3)^2<(x-2)^2<(x-1)^2<x^2$. Entonces cuando la sucesión llegue a un cuadrado perfecto congruente a $0$ módulo $3$ (cosa que eventualmente ocurre), el valor se reducirá, pero el siguiente cuadrado perfecto al que llegue será menor que el anterior, por lo que el valor volverá a reducirse, y así hasta que eventualmente llegue a $a_n\leq 9$, entrando en un ciclo.
Si $a_0\leq 16$, la sucesión eventualmente llegará a $16$ (o comenzará en $4$), de ahí pasará a $4$ y finalmente a $2$, por lo que estamos en el Caso $3$.
Usando que para cualquier $x>5$ entero, $x<(x-3)^2<(x-2)^2<(x-1)^2<x^2$, vemos que cuando la sucesión llegue a un cuadrado perfecto congruente a $1$ módulo $3$ (cosa que eventualmente ocurre), el valor se reducirá, pero el siguiente cuadrado perfecto al que llegue será menor que el anterior, por lo que el valor volverá a reducirse, y así hasta que eventualmente llegue a $a_n\leq 16$, o a un cuadrado de la forma $(3k+2)^2$, de forma que sabemos que llegamos al Caso $3$.
Entonces no hay ningún cuadrado perfecto de la forma $3k+2$, por lo tanto, lo único que se puede hacer es sumar $3$, pero como esto mantiene la congruencia módulo $3$, estaremos sumando infinitamente $3$, por lo tanto, todos los números serán distintos, y no existe $A$.
Finalmente, los valores de $a_0$ para los que existe un $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$ son los múltiplos de $3$
Última edición por Gianni De Rico el Jue 20 Jul, 2017 9:44 am, editado 1 vez en total.
En el caso 2 cuando decis que cuando llegue a un cuadrado perfecto se redusira y así llegara a 4, podria pasar que en el medio se encuentre con un cuadrado de la forma (3k+2)^2 y ahí comienza a acender infinitamente ( Ej: 61) igual sigue siendo imposible encontrar un A pero creo que hacia falta aclararlo.
Está bien que entre los enteros positivos se cumpla solo para los múltiplos de $3$ y el $1$, ¿pero en los negativos no se cumpliría además para los congruentes a $1\pmod{3}$? $$a_0=-2$$ $$\sqrt{-2}\notin \mathbb{Z}\Rightarrow a_1=-2+3=1$$ Y como $1$ se repite infinitamente, entonces $-2$ vale, y todos los negativos de este resto suman $3$ hasta llegar a $-2$, por lo que sufren su misma suerte.
Última edición por Tomás Morcos Porras el Sab 05 Jun, 2021 10:41 pm, editado 1 vez en total.
Está bien que entre los enteros positivos se cumpla solo para los múltiplos de $3$ y el $1$, ¿pero en los negativos no se cumpliría además para los congruentes a $1\pmod{3}$? $$a_0=-2$$ $$\sqrt{-2}\notin \mathbb{Z}\Rightarrow a_1=-2+3=1$$ Y como $1$ se repite infinitamente, entonces $-2$ vale, y todos los negativos de este resto suman $3$ hasta llegar a $-2$, por lo que sufren su misma suerte.
Sí, si extendieras la definición del enunciado para cualquier $a_0$ entero lo único que cambia es que al principio sumarías $3$ hasta llegar a un positivo así que te quedaría la respuesta que decís vos. Por supuesto, eso no es parte de lo que pide hacer el problema, sólo hay que analizar los casos donde $a_0 > 1$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU