Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P1

[Violeta]

Sea [math]f una función aditiva, esto es, [math]f(x+y)=f(x)+f(y) y que satisface [math]f(1)=100. Calcular [math]\sum_{k=1}^{10} f(k!)

[Matías]

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Como [math]f(x+y)=f(x)+f(y) es la ecuación funcional de Cauchy, tenemos que [math]f(x)=xc, con [math]c real. Y al ser [math]f(1)=100, entonces [math]c=100. Por lo tanto [math]\sum_{k=1}^{10} f(k!)=100\sum_{k=1}^{10} k!=100(1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!+10!)=100(1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880+3628800)=403791300