Ibero 2017 P6

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 750
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Ibero 2017 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 20 Sep, 2017 2:52 pm

Sean [math] un entero positivo par y [math] números reales tales que [math] para todo [math] con [math]. Sea [math] el conjunto de pares [math] con [math] y [math] par, y sea [math] el conjunto de pares [math] con [math] y [math] impar. Demostrar que
[math]
[math]

jujumas

OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto FOFO Pascua 2017 - Medalla
OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 342
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 7
Nivel: 2

Re: Ibero 2017 P6

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 20 Sep, 2017 6:37 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Sea [math], sustituyendo los [math] por [math], tenemos que [math] para toko [math] y queremos demostrar que

[math].

Ahora vamos a demostrar un Lema simple que usaremos repetidas veces durante la solución.

Lema: Sean [math] e [math] reales positivos con suma fija [math] y [math], entonces su producto decrece cuando [math] decrece.

Para ver esto, reemplazamos [math] por [math]. Luego, la cuadratica [math] tiene raiz en [math] y [math], por lo que obtiene máximo en [math], lo que implica el Lema al ser la cuadrática una parábola cóncava.

Veamos ahora que el lado izquierdo es igual a [math] y que el lado derecho es igual a [math].

Vamos a demostrar entonces que [math] donde [math] son todos los valores pares que toma [math] y [math] todos los valores impares que toma [math].

Para ver esto, simplemente demostramos que [math], que es trivialmente cierto por el Lema tomando [math] e [math], y haciendo crecer el mayor de ellos hasta [math] y haciendo decrecer al menor hasta [math]. Multiplicando todas estas desigualdades, obtenemos lo pedido.

Ahora tenemos que [math] para todo [math]. Multiplicando todas estas desigualdades al hacer variar [math], tenemos que [math]. Luego, al multiplicar el lado derecho por los términos pares de la sucesión [math], que es un numero menor o igual a [math] obtenemos la desigualdad pedida, lo que demuestra lo pedido.

Responder