Secuencia de longitud n

[Pinga2005]

Una secuencia de enteros positivos [math]a_1, a_2,\ldots, a_n
es llamada escala de longitud [math]n si está compuesta de [math]n números consecutivos en orden creciente.
(a) Probar que para cada entero positivo [math]n existen dos escalas de longitud [math]n, sin elementos comunes,
[math]a_1, a_2,\ldots, a_n y [math]b_1, b_2,\ldots, b_n, tal que
para cada [math]i entre [math]1 y [math]n el [math]MCD entre [math]a_i y [math]b_i es igual a [math]1.
(b) Probar que para cada entero positivo [math]n existen dos escalas de longitud [math]n, sin elementos comunes,
[math]a_1, a_2,\ldots, a_n y [math]b_1, b_2,\ldots, b_n, tal que
para cada [math]i entre [math]1 y [math]n el [math]MCD entre [math]a_i y [math]b_i es major que [math]1.

[Gianni De Rico]

Re loco

[Turko Arias]

Parte a)

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Sea [math]p un primo mayor que [math]n, para cada [math]i entre [math]1 y [math]n definimos [math]a_i=i y [math]b_i=p+i. Es claro que [math]mcd(a_i,b_i)|b_i-a_i=p, pero también divide a [math]a_i, pero como [math]p es primo y mayor que [math]a_i, entonces [math]a_i y [math]p son coprimos, por ende [math]mcd(a_i,b_i)=1 para todo [math]i entre [math]1 y [math]n.

Parte b)

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Para cada [math]i entre [math]1 y [math]n definimos [math]a_i=1+i y [math]b_i=1+i+(n+1)!. Como [math]i está entre [math]1 y [math]n, [math]a_i|(n+1)! siempre, por lo que para cada [math]i, [math]b_i va a ser divisible por [math]a_i, pero además, todos los [math]a_i son mayores que [math]1, luego esta secuencia cumple lo pedido.

[Matías]

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a) Si tomamos [math]a_1=1 y [math]b_1=(n+1)! (podemos hacerlo ya que [math](n+1)!>n [math]\forall n\in N), como [math]i\mid (n+1)! [math]\forall 1\leq i\leq n vamos a tener que [math]a_i=i y [math]b_i=(n+1)!+i-1 son coprimos.
b) Si tomamos [math]a_1=2 y [math]b_1=(n+1)!+2 vamos a tener que [math]a_i=i+1 y [math]b_i=(n+1)!+i+1 van a ser divisibles por [math]i+1, por lo tanto no van a ser coprimos.