Diremos que una lista de números enteros positivos es admisible si todos sus números son menores o iguales que $100$ y su suma es mayor que $1810$. Hallar el menor entero positivo $d$ tal que a cada lista admisible se le pueden tachar algunos números de modo que la suma de los números que quedaron sin tachar sea mayor o igual que $1810-d$ y menor o igual que $1810+d$.
Teniendo en cuenta que es posible no sacar ningún entero, vamos a demostrar que el mínimo es $d=48$.
Primero, un ejemplo, si tomamos una lista con $7$ números $96$, un $97$ y $11$ números $99$, la suma será $96\times 7 +97+99\times 11=1858=1810+48$. Y si tachamos algún número la suma será como mucho $1858-96=1810-48$
Ahora vamos a demostrar que para cualquier lista se puede con $d=48$
Supongamos que existe una lista para la cual no se puede con $d=48$. Sea $T$ dicha lista, sea $S_T$ la suma de los elementos de $T$ y sea $[T]$ la cantidad de elementos de $T$. Como $S_T>1810$, entonces $S_T>1858$, ya que de lo contrario entraría en el rango y la dejamos como está. Lo que ocurre entonces es que después de sacar algunos (pueden ser $0$) elementos de $T$ llegamos a una lista $L$ tal que $S_L\geqslant 1859$ y $S_{L-\{x\}}\leqslant 1810-48-1=1761\forall x\in L$, como $1859-1761=98$, tenemos que $98\leqslant x\leqslant 100\forall x\in L$, ya que de lo contrario podríamos sacar algún número menor y que entre en el rango. Y también, como $1761+100=1861$, tenemos que $S_L\leqslant 1861$, ya que sino sin importar que número tachemos entraría en el rango o bien todavía podemos tachar un número más sin que esto ocurra, lo que es absurdo pues estamos suponiendo lo contrario.
Además $[L]\geqslant 19$, ya que si $[L]\leqslant 18$ tenemos que $1859\leqslant S_L\leqslant 18\times 100=1800\Rightarrow 1859\leqslant 1800$. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que $[L]\leqslant 18$, por lo tanto, $[L]\geqslant 19$
Análogamente, si $[L]\geqslant 19$ entonces $19\times 98=1862\leqslant S_L\leqslant 1861\Rightarrow 1862\leqslant 1861$. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que $[L]\geqslant 19$, por lo tanto, $[L]\leqslant 18$
Juntando los dos resultados obtenemos $19\leqslant [L]\leqslant 18\Rightarrow 19\leqslant 18$. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que existe una lista $T$ para la cual no se puede con $d=48$, por lo tanto, se puede para todas las listas. Queda demostrado que $d=48$ es el mínimo.
