Rioplatense 2017 - N2 P6

[ésta]

Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales fijos, todos distintos de $0$. Encontrar todas las $n$-uplas $(r_1,r_2,\ldots ,r_n)$ de números reales para las cuales la desigualdad$$\sum _{i=1}^nr_i(x_i-a_i)\leq \sqrt{\sum _{i=1}^nx_i^2}-\sqrt{\sum _{i=1}^na_i^2}$$se cumple para todos los números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$.

[Rafaga]

Como la desigualdad se cumple para todo $x_i$ real, hacemos que $x_i=0$, para todo $i$. Tenemos:
${\sum_{i=1}^n -r_ia_i} \leq 0- \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$. Luego $ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \leq {\sum_{i=1}^n r_ia_i} $...$(*)$
Ahora en la desigualdad del problema hacemos $x_i=2a_i$, tenemos:
${\sum_{i=1}^n r_i(2a_i-a_i)} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n 4a_i^2}-
\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$. Luego
${\sum_{i=1}^n r_ia_i} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$...$(**)$

De $(*)$ y $(**)$ se deduce que ${\sum_{i=1}^n r_ia_i} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$...$(***)$
Reemplazando en la desigualdad original, tenemos que:
${\sum_{i=1}^n r_ix_i} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ para todos los reales $x_1, x_2, ...., x_n$

Al saber la existencia de $ r_1, r_2,...,r_n$, hacemos que $x_i=r_i$ para todo $i$,luego: ${\sum_{i=1}^n{r_i}^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n r_i^2}$, entonces
$0\leq {\sum_{i=1}^n{r_i}^2} \leq1$...$(I)$

Por Cauchy-Schwarz:
${\sum_{i=1}^n r_ia_i} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n r_i^2 \sum_{i=1}^n a_i^2}$ y por $(***)$ tenemos

$ \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2 } \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n r_i^2 \sum_{i=1}^n a_i^2}$ y como $ {\sum_{i=1}^n a_i^2}>0$, entonces $ {\sum_{i=1}^n r_i^2}\geq 1$...$(II)$
De $(I)$y $(II)$ tenemos $ {\sum_{i=1}^n r_i^2} =1$

Ahora en $(***)$ se observa ${\sum_{i=1}^n r_ia_i} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^n r_i^2 \sum_{i=1}^n a_i^2}$, es fácio ver que se da la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz, luego tenemos la n-upla que es solución:
$r_i=\frac {a_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2 }}$

[enigma1234]

Spoiler: mostrar

Llamemos $S=\sum_{i=1}^n a_i^2$
Tomemos $x_j=a_j$ para todo j distinto de un subindice i fijo. Entonces tenemos que:
$r_i (x_i- a_i) \leq \sqrt {x_i^2+S-a_i^2}- \sqrt {S} =\frac {x_i^2-a_i^2}{ \sqrt {x_i^2+S-a_i^2}+\sqrt {S}}$
(i)$x_i>a_i$
Entonces tenemos $r_i \leq \frac {x_i+a_i}{ \sqrt {x_i^2+S-a_i^2}+\sqrt {S}}$
Hacemos que $x_i $ tienda a $a_i $ y tenemos
$r_i \leq \frac {a_i}{\sqrt {S}}$
(ii)$x_i<a_i$
Entonces tenemos $r_i \geq \frac {x_i+a_i}{ \sqrt {x_i^2+S-a_i^2}+\sqrt {S}}$
Hacemos que $x_i $ tienda a $a_i $ y tenemos
$r_i \geq \frac {a_i}{\sqrt {S}} $
Por lo tanto tenemos que $r_i =\frac {a_i}{\sqrt {S}}$ para todo i.