Sextas potencias

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Pinga2005
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Sextas potencias

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¿Cuánto es la suma de las sextas potencias de las soluciones de la ecuación $x^{6}-16x^{4}+16x^{2}-1=0$?
bruno
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Re: Sextas potencias

Mensaje sin leer por bruno »

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Haciendo el cambio de variable $y=x^2$ la ecuacion es ahora $y^3-16 y^2+16y-1=0$

$y^3-16 y^2+16y-1=0$ tiene una raiz en $y=1$. Luego la factorizacion del polinomio cubico queda $(y-1)(y^2-15y+1)=0$

Aplicando la formula de raices cuadraticas, las soluciones de $y^2-15y+1=0$ son: $y=\frac{15+\sqrt{221}}{2}$ e $y=\frac{15-\sqrt{221}}{2}$

Si tomara raiz cuadrada a las $3$ raices anteriores obtendria las $6$ raices de la ecuacion original. Cada una de las $3$ raices me da dos soluciones del mismo valor absoluto, pero como se calcula la suma de las sextas potencias de cada raiz entonces el valor absoluto no influye y el resultado si sumara esas dos raices con el mismo valor absoluto seria $2y^3$ para cada $y$ solucion. Luego la suma pedida seria:

$2\times1+2\times\frac{(15+\sqrt{221})^3}{2}+2\times\frac{(15-\sqrt{221})^3}{2}$

$2+15^3+3\times 15^2 \times \sqrt{221}+3 \times 15 \times 221+(\sqrt{221})^3+15^3-3\times 15^2 \times \sqrt{221}+3 \times 15 \times 221-(\sqrt{221})^3=26642$
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Pinga2005
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Re: Sextas potencias

Mensaje sin leer por Pinga2005 »

No. La resposta dice $6662$.
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Dauphineg

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Re: Sextas potencias

Mensaje sin leer por Dauphineg »

bruno escribió: Mié 13 Dic, 2017 5:59 pm
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Haciendo el cambio de variable $y=x^2$ la ecuacion es ahora $y^3-16 y^2+16y-1=0$

$y^3-16 y^2+16y-1=0$ tiene una raiz en $y=1$. Luego la factorizacion del polinomio cubico queda $(y-1)(y^2-15y+1)=0$

Aplicando la formula de raices cuadraticas, las soluciones de $y^2-15y+1=0$ son: $y=\frac{15+\sqrt{221}}{2}$ e $y=\frac{15-\sqrt{221}}{2}$

Si tomara raiz cuadrada a las $3$ raices anteriores obtendria las $6$ raices de la ecuacion original. Cada una de las $3$ raices me da dos soluciones del mismo valor absoluto, pero como se calcula la suma de las sextas potencias de cada raiz entonces el valor absoluto no influye y el resultado si sumara esas dos raices con el mismo valor absoluto seria $2y^3$ para cada $y$ solucion. Luego la suma pedida seria:

$2\times1+2\times\frac{(15+\sqrt{221})^3}{2}+2\times\frac{(15-\sqrt{221})^3}{2}$

$2+15^3+3\times 15^2 \times \sqrt{221}+3 \times 15 \times 221+(\sqrt{221})^3+15^3-3\times 15^2 \times \sqrt{221}+3 \times 15 \times 221-(\sqrt{221})^3=26642$
te falto elevar el $2$ al cubo por eso es que da $6662$
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