Mínimo valor

[Pinga2005]

¿Cuál es el valor mínimo de
$\frac{x}{y}+\sqrt {\frac {y}{x}} $
con $x $ y $y $ números reales positivos?

[Emerson Soriano]

Spoiler: mostrar

Como $x$, $y$ son reales positivos, entonces es válida la siguiente desigualdad:

$\frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}}{3}\geqslant \sqrt[3]{\frac{1}{4}}.$

Esta desigualdad implica que $\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{y}{x}}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$. Para demostrar que el menor valor de la expresión pedida es $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$, basta con observar que la igualdad ocurre cuando $x=1$, $y=\sqrt[3]{4}$.