ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

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Emerson Soriano

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ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mié 27 Dic, 2017 6:31 pm

Sea $M$ el mayor número real tal que la desigualdad:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ca+M(a-b)^{2}$$
se cumple para todos los números reales $a$, $b$ y $c$. Calcule el valor de $120M$.

Rafaga
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Re: ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Rafaga » Sab 30 Dic, 2017 10:49 pm

Para $a=3, b=1, c=2$ tenemos que $\frac{3}{4}\geq M$. Probaremos que $M=\frac{3}{4}$ cumple. Para $M=\frac{3}{4}$ la desigualdad es:
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca+\frac{3}{4} (a-b)^2$ que se cumple si y solo si:

$4(a^2+b^2+c^2 )\geq 4(ab+bc+ca)+3(a-b)^2$
$\leftrightarrow$ $a^2+b^2+4c^2\geq 4bc+4ca-2ab$
$\leftrightarrow$ $(a+b-2c)^2\geq 0$ lo cual es verdadero. Luego el máximo valor de M es$\frac{3}{4}$

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