Scooby Doo Pa Pa

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Turko Arias

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Scooby Doo Pa Pa

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 11 Feb, 2018 9:54 pm

Albert Einstein y Homero Simpson están jugando un juego que según Albert (Beto para sus amigos más cercanos), es relativamente fácil :roll:
Dado un polinomio $p(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+...+a_1x+a_0$, por turnos y empezando por Albert Einstein, eligen uno de los coeficientes $a_0, a_1, ..., a_{2011}$ y le asignan un valor real. Una vez que se le asignó un valor a un coeficiente, este no puede ser cambiado. El juegazo este termina cuando ya le fueron asignados valores a todos los coeficientes.
El objetivo de Homero es que $p(x)$ sea divisible por un polinomio fijo $n(x)$, y el objetivo de Albert es evitarlo.
$(a)$ Qué jugador tiene estrategia ganadora si $n(x)=x-2012$?
$(b)$ Qué jugador tiene estrategia ganadora si $n(x)=x^2+1$?
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enigma1234

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Re: Scooby Doo Pa Pa

Mensaje sin leer por enigma1234 » Dom 11 Feb, 2018 11:10 pm

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Como hay 2012 coeficientes y Albert empieza entonces Homero termina el juego.
$(a)$:Veamos que en este caso gana Homero,su estrategia sera cambiar cualquier coeficiente aun no cambiado hasta su penúltimo movimiento,entonces en luego de la ultima jugada de Homero este evalua $p(2012)$ y le queda que:
$p(2012)=2012^ia_i+r$ para cierto $i$ donde luego de las jugadas $i$ y$r$ son constantes entonces Homero hace que $a_i=-\frac{r}{2012^i}$ y en su ultima jugada tiene que $p(2012)=0$ de lo que tendría que $n(x)=x-2012$ divide a $p(x)$ y gana Homero.
$(b)$:Veamos que en este caso también gana Homero,lo que este quiere es que $x^2+1$ divida a $p(x)$ para esto es claro que lo que necesita es que:
$x(a_1-a_3+a_5-a_7+...+a_{2009}-a_{2011})+(a_0-a_2+a_4-a_6+...+a_{2008}-a_{2010}+1)=0$ que es lo mismo que necesitar que ambos coeficientes sean 0,Homero separa los coeficientes en pares de la forma:$(a_i,a_{i+2})$ para $0\leq i \leq 2009$ y cambia un coeficiente cuando cambia Albert cambia en el turno justo anterior a ese su pareja,de tal forma que $a_i-a_{i+2}=0$ para $1\leq i \leq 2009$ y para $i=0$ lo que hara es que $a_0-a_2=-1$ es claro que el puede realizar esta estrategia y en la ecuación obtendría que ambos coeficientes son 0, entonces Homero gana.
Por lo tanto en ambos casos Homero tiene la estrategia ganadora.
One in a millon...my lucky strike! :D

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