Desigualdad con variables elevadas a la 7 y 5

robert123
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Desigualdad con variables elevadas a la 7 y 5

Mensaje sin leer por robert123 » Mar 13 Feb, 2018 1:02 am

Sean $a, b, c$, reales positivos tales que $a + b + c = 1$. Demuestre que:
${a^7+b^7}\over {a^5+b^5}$+${c^7+b^7}\over {c^5+b^5}$+${a^7+c^7}\over {a^5+c^5}$ $\geq$ $ 1\over3$

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Emerson Soriano

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Re: Desigualdad con variables elevadas a la 7 y 5

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 13 Feb, 2018 8:22 pm

Spoiler: mostrar
Puesto que las variables son positivas, entonces por Cauchy-Schwarz tenemos que

$$\frac{a^{7}+b^{7}}{a^{5}+b^{5}}\geqslant \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{3}+b^{3}}\geqslant \frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}=a^{2}-ab+b^{2}.$$
Por lo tanto,

$$\sum_{cyc}\frac{a^{7}+b^{7}}{a^{5}+b^{5}}\geqslant \sum_{cyc}(a^{2}-ab+b^{2})=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab+bc+ca) \cdots (1)$$
Como $a+b+c=1$, entonces

$$ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}=\frac{1-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2} \cdots (2)$$
Reemplazando $(2)$ en $(1)$, tenemos que
$$\sum_{cyc}\frac{a^{7}+b^{7}}{a^{5}+b^{5}}\geqslant \frac{5}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{2} \cdots (\theta )$$
Nuevamente por Cauchy-Schwarz sabemos que
$$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(1^{2}+1^{2}+1^{2})\geqslant (a+b+c)^{2}=1.$$
Por lo tanto,
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{1}{3} \cdots (\beta )$$
Reemplazando $(\beta )$ en $(\theta )$ obtenemos lo pedido.
La igualdad ocurre si y sólo si $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.

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