Ecuaciones funcionales

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enigma1234

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Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por enigma1234 » Vie 16 Feb, 2018 1:52 pm

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $$f\left(x^3+f(y)\right)=x^2f(x)+y,$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}.$
One in a millon...my lucky strike! :D

liqm
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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por liqm » Mié 21 Feb, 2018 7:04 pm

Primero, veamos que si $x=0$, entonces $f(f(y))=y$ y podemos decir que $f$ es biyectiva

Colocando $y=0$ y $x=1$ se tiene que que $f(1+f(0))=f(1)$ pero como $f$ es inyectiva $ \Rightarrow $ $f(0)=0$

Para $y=0$ y $x=x$ vemos que $f(x^3)=x^2f(x)$

Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$

Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$

Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$

Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$

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Violeta

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 21 Feb, 2018 10:02 pm

liqm escribió:
Mié 21 Feb, 2018 7:04 pm
Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$

Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$

Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$

Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$
No puedes asumir que $f(x)$ es un polinomio.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

sebach

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por sebach » Sab 03 Mar, 2018 2:10 pm

Pongo a lo que llegué porque lo escribí en LaTeX y no quiero sentir que al pedo:
Spoiler: mostrar

Sea $P(x,y)$ la proposición del enunciado.

$P(0,y)$ muestra que $f(f(y)) = y$ para todo $y$ real. $(1)$

Si $f(a) = f(b) \Rightarrow f(f(a)) = f(f(b)) \Rightarrow a=b$, la función es inyectiva.

$P(f(0),0)$: $f(f(0)^3 + f(0)) = f(0)^2*0 + 0 \Rightarrow f(f(0)^3 + f(0)) = 0 = f(f(0)) \Rightarrow f(0)^3=0 \Rightarrow f(0)=0$.

$P(x,0)$: $f(x^3)=x^2*f(x)$ para todo $x$ real. $(2)$

Ahora, para todo par de valores $a,b$ reales, existen $a^{1/3}, f(b)$ reales. Luego, $f(a+b) = f( (a^{1/3})^3 + f( f(b) ) )$, que es lo mismo que $P((a^{1/3}),f(b))$: $f(a+b) = (a^{1/3})^2*f(a^{1/3}) + f(b) $, que por $(2)$ sabemos que el primer sumando del lado derecha es igual a $f(a)$, por lo que $f(a+b)=f(a)+f(b)$ para todo $a,b$ reales.

Esto nos dice por un lado que para cualquier $x$ real, $f(x+x)=f(2*x)=2*f(x)$, e inductivamente que $f(n*x)=n*f(x)$ para cualquier $n$ positivo.
Además, $f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=f(0)=0 \Rightarrow f(x)=f(-x) \Rightarrow f(n*x)=n*f(x) $ para todo $n$ entero.

Si $x=\dfrac{m}{n}*z$, con $m,n$ enteros, $f(x*n)=f(m*z) \Rightarrow f(x)=\dfrac{m}{n}*f(z)$.


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Marco V

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por Marco V » Dom 04 Mar, 2018 4:19 pm

Es solo lógico que yo también publique a lo que llegué
Spoiler: mostrar
Para no escribir todo en latex de nuevo (porque no se me guardó el borrador) hagamos de cuenta que, como ya se ve antes en el post, llegamos a $f(f(y))=y$ (que implica biyección) y a $f(0)=0$

$P(1,f(1)):$ $f(2)=2f(1)$
De acá es fácil ver que con $P(1,f(a))$ para todo entero positivo $a$ se cumple inductivamente que $f(a)=af(1)$
Poniendo $P(a,b)$ con $a,b$ enteros positivos resulta en $f(1)^2=1$

Dividiendo en casos y haciendo inducción en cada uno se puede ver que $f(x)=x$ y $f(x)=-x$ para $x$ entero. También, si cumple para $t$ real, cumple para $t+1$ ($P(1,y):$ $f(1+f(y))=y+1$, que es lo mismo que $1+f(y)=f(y+1)$) o para $t-1$ dependiendo del valor de $f(1)$. Curiosamente, si cumple para $t^3$ real cumple para $t$ ($f(t^3)=t^2f(t)$)

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