Ecuaciones funcionales

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enigma1234

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Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por enigma1234 » Vie 16 Feb, 2018 1:52 pm

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $$f\left(x^3+f(y)\right)=x^2f(x)+y,$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}.$
One in a millon...my lucky strike! :D

liqm
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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por liqm » Mié 21 Feb, 2018 7:04 pm

Primero, veamos que si $x=0$, entonces $f(f(y))=y$ y podemos decir que $f$ es biyectiva

Colocando $y=0$ y $x=1$ se tiene que que $f(1+f(0))=f(1)$ pero como $f$ es inyectiva $ \Rightarrow $ $f(0)=0$

Para $y=0$ y $x=x$ vemos que $f(x^3)=x^2f(x)$

Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$

Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$

Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$

Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$

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Violeta

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 21 Feb, 2018 10:02 pm

liqm escribió:
Mié 21 Feb, 2018 7:04 pm
Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$

Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$

Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$

Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$
No puedes asumir que $f(x)$ es un polinomio.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

sebach

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por sebach » Sab 03 Mar, 2018 2:10 pm

Pongo a lo que llegué porque lo escribí en LaTeX y no quiero sentir que al pedo:
Spoiler: mostrar

Sea $P(x,y)$ la proposición del enunciado.

$P(0,y)$ muestra que $f(f(y)) = y$ para todo $y$ real. $(1)$

Si $f(a) = f(b) \Rightarrow f(f(a)) = f(f(b)) \Rightarrow a=b$, la función es inyectiva.

$P(f(0),0)$: $f(f(0)^3 + f(0)) = f(0)^2*0 + 0 \Rightarrow f(f(0)^3 + f(0)) = 0 = f(f(0)) \Rightarrow f(0)^3=0 \Rightarrow f(0)=0$.

$P(x,0)$: $f(x^3)=x^2*f(x)$ para todo $x$ real. $(2)$

Ahora, para todo par de valores $a,b$ reales, existen $a^{1/3}, f(b)$ reales. Luego, $f(a+b) = f( (a^{1/3})^3 + f( f(b) ) )$, que es lo mismo que $P((a^{1/3}),f(b))$: $f(a+b) = (a^{1/3})^2*f(a^{1/3}) + f(b) $, que por $(2)$ sabemos que el primer sumando del lado derecha es igual a $f(a)$, por lo que $f(a+b)=f(a)+f(b)$ para todo $a,b$ reales.

Esto nos dice por un lado que para cualquier $x$ real, $f(x+x)=f(2*x)=2*f(x)$, e inductivamente que $f(n*x)=n*f(x)$ para cualquier $n$ positivo.
Además, $f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=f(0)=0 \Rightarrow f(x)=f(-x) \Rightarrow f(n*x)=n*f(x) $ para todo $n$ entero.

Si $x=\dfrac{m}{n}*z$, con $m,n$ enteros, $f(x*n)=f(m*z) \Rightarrow f(x)=\dfrac{m}{n}*f(z)$.


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Marco V

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por Marco V » Dom 04 Mar, 2018 4:19 pm

Es solo lógico que yo también publique a lo que llegué
Spoiler: mostrar
Para no escribir todo en latex de nuevo (porque no se me guardó el borrador) hagamos de cuenta que, como ya se ve antes en el post, llegamos a $f(f(y))=y$ (que implica biyección) y a $f(0)=0$

$P(1,f(1)):$ $f(2)=2f(1)$
De acá es fácil ver que con $P(1,f(a))$ para todo entero positivo $a$ se cumple inductivamente que $f(a)=af(1)$
Poniendo $P(a,b)$ con $a,b$ enteros positivos resulta en $f(1)^2=1$

Dividiendo en casos y haciendo inducción en cada uno se puede ver que $f(x)=x$ y $f(x)=-x$ para $x$ entero. También, si cumple para $t$ real, cumple para $t+1$ ($P(1,y):$ $f(1+f(y))=y+1$, que es lo mismo que $1+f(y)=f(y+1)$) o para $t-1$ dependiendo del valor de $f(1)$. Curiosamente, si cumple para $t^3$ real cumple para $t$ ($f(t^3)=t^2f(t)$)

HelcsnewsXD
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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Sab 05 Oct, 2019 3:05 pm

Creo que sería algo así. ¿Estaría bien?
Spoiler: mostrar
Sabemos que $f(x^{3}+f(y))=x^{2}\times f(x)+y$ / $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x,y \epsilon \mathbb{R}$
Si $x=0$, $f(f(y))=y$ $\Rightarrow$ Dados $a,b \epsilon \mathbb{R}$ / $f(a)=f(b), f(f(a))=f(f(b))$, por lo que $a=b$ $\Rightarrow$ es inyectiva
Si $y=0$ y $x=1$, $f(1+f(0))=f(1)$ $\Rightarrow$ $f(0)=0$
Si $y=0$, $f(x^{3})=x^{2}\times f(x) \Rightarrow \frac{f(x^{3})}{f(x)}=x^{2} \Rightarrow$
Ahora, con esto podemos reemplazar $x^{2}$ de la igualdad inicial:
$f(x^{3}+f(y))=f(x^{3})+y \Rightarrow$ Ahora podemos considerar dos valores, primero $x=1$ y luego $x=-1 \Rightarrow$
$\Rightarrow Si x=1, f(1+f(y))=f(1)+y. Y si x=-1, f(f(y)-1)=f(-1)+y \Rightarrow $Igualamos en y$, f(f(y-1)-f(-1)=f(1+f(y))-f(1) \Rightarrow$
$\Rightarrow f(f(y)-1)-f(1+f(y))=f(-1)-f(1) \Rightarrow f(x)=kx+c / k,c \epsilon \mathbb{R}$
Si reemplazamos esto en la igualdad, tenemos que:
$k\times x^{3}+k^{2}\times y +k\times c+c=k\times x^{3}+c+y \Rightarrow k^{2}y+kc=y \Rightarrow kc=y\times (1-k^{2}) \Rightarrow$
$\Rightarrow \frac{kc}{1-k^{2}}=y$, por lo que llegamos a un absurdo ya que $f(x)$ es inyectiva. Esto se cumple siempre y cuando $1-k^{2}$ sea igual a 0. Por esto:
$1-k^{2}=0 \Rightarrow k=+-1$
Ahora debemos reemplazar nuevamente en la igualdad:
Tenemos dos opciones 1) $y+c=y$ 2) $-y-c=-y$ $\Rightarrow c=0 \Rightarrow f(x)=+-x$
Última edición por HelcsnewsXD el Lun 07 Oct, 2019 5:52 am, editado 2 veces en total.

sebach

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por sebach » Dom 06 Oct, 2019 1:27 pm

HelcsnewsXD escribió:
Sab 05 Oct, 2019 3:05 pm
Creo que sería algo así. ¿Estaría bien?
Por qué decís que $f(f(x^3)/f(x)) = f(f(x^3))/f(f(x)) $ ? O sea, por qué decís que la función de la división es la división de las funciones?

Y suponiendo que llegás a que $f(x^2) = x^2$, me parece que obtenés que $f(x) = +- x$ para los $x$ no negativos porque obtenés una igualdad evaluando a $f$ en un $x^2$

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Dom 06 Oct, 2019 4:49 pm

sebach escribió:
Dom 06 Oct, 2019 1:27 pm
HelcsnewsXD escribió:
Sab 05 Oct, 2019 3:05 pm
Creo que sería algo así. ¿Estaría bien?
Por qué decís que $f(f(x^3)/f(x)) = f(f(x^3))/f(f(x)) $ ? O sea, por qué decís que la función de la división es la división de las funciones?

Y suponiendo que llegás a que $f(x^2) = x^2$, me parece que obtenés que $f(x) = +- x$ para los $x$ no negativos porque obtenés una igualdad evaluando a $f$ en un $x^2$
Ahí corregí la primera parte. En cuanto a lo segundo, había puesto $\pm x$, pero lo cambié a $+-x$ para no confundir

sebach

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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por sebach » Lun 07 Oct, 2019 5:32 am

Perdón, me explicás el paso de que
$f(f(y)-1) - f(f(y)+1) = f(-1)+f(1) $ te lleva a que $f(x) = kx + c/k $ ? Igual creo que debería ser $f(-1) - f(1)$ en el lado derecho no? Pero eso es un detalle.

Y sobre el $\pm$ claramente es mejor que $+-$, lo escribí asi y me olvidé de googlear cómo se hacía el símbolo

HelcsnewsXD
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Re: Ecuaciones funcionales

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Lun 07 Oct, 2019 5:56 am

sebach escribió:
Lun 07 Oct, 2019 5:32 am
Perdón, me explicás el paso de que
$f(f(y)-1) - f(f(y)+1) = f(-1)+f(1) $ te lleva a que $f(x) = kx + c/k $ ? Igual creo que debería ser $f(-1) - f(1)$ en el lado derecho no? Pero eso es un detalle.

Y sobre el $\pm$ claramente es mejor que $+-$, lo escribí asi y me olvidé de googlear cómo se hacía el símbolo
Ahí lo arreglé. Era restar en vez sumar jajaja
En ese paso básicamente me queda que la resta de dos funciones que dependen del valor de y es igual a una constante $f(-1)-f(1)$, por lo que sí o sí $f(x)=kx+c$ para que esto se cumpla, ya que c es cte. Después, vemos que $k=+-1$ y $c=0$
Es más o menos semejante a lo que pasa en el P1 de la IMO 2019

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