Ecuaciones funcionales
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enigma1234
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Ecuaciones funcionales
Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $$f\left(x^3+f(y)\right)=x^2f(x)+y,$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}.$
Re: Ecuaciones funcionales
Primero, veamos que si $x=0$, entonces $f(f(y))=y$ y podemos decir que $f$ es biyectiva
Colocando $y=0$ y $x=1$ se tiene que que $f(1+f(0))=f(1)$ pero como $f$ es inyectiva $ \Rightarrow $ $f(0)=0$
Para $y=0$ y $x=x$ vemos que $f(x^3)=x^2f(x)$
Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$
Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$
Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$
Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$
Colocando $y=0$ y $x=1$ se tiene que que $f(1+f(0))=f(1)$ pero como $f$ es inyectiva $ \Rightarrow $ $f(0)=0$
Para $y=0$ y $x=x$ vemos que $f(x^3)=x^2f(x)$
Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$
Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$
Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$
Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$
Re: Ecuaciones funcionales
No puedes asumir que $f(x)$ es un polinomio.liqm escribió: ↑Mié 21 Feb, 2018 7:04 pm Digamos que el grado de $f(x)$ sea k, entonces por la anterior ecuacion se tendria que $3k=k+2$
Es decir, $k=1$ y $f(x)=kx$
Volviendo a la ecuacion original, se tendria que $k(x^3+ky)=x^3k+y$ $ \Rightarrow $ $k^2=1$ $ \Rightarrow $ $k=\pm 1$
Entonces las soluciones son de la forma $f(x)=\pm x$
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
Re: Ecuaciones funcionales
Pongo a lo que llegué porque lo escribí en LaTeX y no quiero sentir que al pedo:
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Re: Ecuaciones funcionales
Creo que sería algo así. ¿Estaría bien?
Última edición por HelcsnewsXD el Lun 07 Oct, 2019 5:52 am, editado 2 veces en total.
Na, clave la solución
Re: Ecuaciones funcionales
Por qué decís que $f(f(x^3)/f(x)) = f(f(x^3))/f(f(x)) $ ? O sea, por qué decís que la función de la división es la división de las funciones?
Y suponiendo que llegás a que $f(x^2) = x^2$, me parece que obtenés que $f(x) = +- x$ para los $x$ no negativos porque obtenés una igualdad evaluando a $f$ en un $x^2$
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Re: Ecuaciones funcionales
Ahí corregí la primera parte. En cuanto a lo segundo, había puesto $\pm x$, pero lo cambié a $+-x$ para no confundirsebach escribió: ↑Dom 06 Oct, 2019 1:27 pmPor qué decís que $f(f(x^3)/f(x)) = f(f(x^3))/f(f(x)) $ ? O sea, por qué decís que la función de la división es la división de las funciones?
Y suponiendo que llegás a que $f(x^2) = x^2$, me parece que obtenés que $f(x) = +- x$ para los $x$ no negativos porque obtenés una igualdad evaluando a $f$ en un $x^2$
Na, clave la solución
Re: Ecuaciones funcionales
Perdón, me explicás el paso de que
$f(f(y)-1) - f(f(y)+1) = f(-1)+f(1) $ te lleva a que $f(x) = kx + c/k $ ? Igual creo que debería ser $f(-1) - f(1)$ en el lado derecho no? Pero eso es un detalle.
Y sobre el $\pm$ claramente es mejor que $+-$, lo escribí asi y me olvidé de googlear cómo se hacía el símbolo
$f(f(y)-1) - f(f(y)+1) = f(-1)+f(1) $ te lleva a que $f(x) = kx + c/k $ ? Igual creo que debería ser $f(-1) - f(1)$ en el lado derecho no? Pero eso es un detalle.
Y sobre el $\pm$ claramente es mejor que $+-$, lo escribí asi y me olvidé de googlear cómo se hacía el símbolo
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Re: Ecuaciones funcionales
Ahí lo arreglé. Era restar en vez sumar jajajasebach escribió: ↑Lun 07 Oct, 2019 5:32 am Perdón, me explicás el paso de que
$f(f(y)-1) - f(f(y)+1) = f(-1)+f(1) $ te lleva a que $f(x) = kx + c/k $ ? Igual creo que debería ser $f(-1) - f(1)$ en el lado derecho no? Pero eso es un detalle.
Y sobre el $\pm$ claramente es mejor que $+-$, lo escribí asi y me olvidé de googlear cómo se hacía el símbolo
En ese paso básicamente me queda que la resta de dos funciones que dependen del valor de y es igual a una constante $f(-1)-f(1)$, por lo que sí o sí $f(x)=kx+c$ para que esto se cumpla, ya que c es cte. Después, vemos que $k=+-1$ y $c=0$
Es más o menos semejante a lo que pasa en el P1 de la IMO 2019
Na, clave la solución