Zonal N3 P1 2018

[Joacoini]

Fausto escribe una lista de $11$ números enteros positivos con el siguiente procedimiento: elige el primer número $a$ y el segundo número $b$ y, a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número escrito multiplicado por $2$ menos el penúltimo número escrito.
Por ejemplo, si $a=87$ y $b=134$, la sucesión comienza con $87, 134, 181, 228, 275, ... $.
Hallar todos los números enteros positivos $a$ y $b$, con $a\leq 30$ y tales que en el lugar número $11$ de la lista esté escrito $2018$.

[Gianni De Rico]

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Ponemos $a=a_1$ y $b=a_2$. La lista de Fausto está definida por $a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$ para $n>2$.
Vamos a demostrar por inducción fuerte que $a_n=(n-1)a_2-(n-2)a_1$. Para el caso base $a_3$ es cierto, pues $a_3=2a_2-a_1=(3-1)a_2-(3-2)a_1$.
Supongamos como hipótesis inductiva que vale para todo $n\leq k$, veamos que vale para $k+1$.
Por definición de la sucesión tenemos\begin{align*}a_{k+1} & =2a_k-a_{k-1} \\
& \underset{HI}{=}2((k-1)a_2-(k-2)a_1)-((k-2)a_2-(k-3)a_1) \\
& =(2k-2)a_2+(-2k+4)a_1+(-k+2)a_2+(k-3)a_1\\
& =(2k-2-k+2)a_2+(-2k+4+k-3)a_1 \\
& =ka_2+(-k+1)a_1 \\
& =ka_2-(k-1)a_1 \\
& =(k+1-1)a_2-(k+1-2)a_1.
\end{align*}La inducción está completa.

En particular tenemos $2018=a_{11}=10a_2-9a_1$
Además $a_1\equiv -9a_1\equiv 10a_2-9a_1\equiv 2018\equiv 8\pmod{10}$
Como $0<a\leq 30$ los posibles valores de $(a,b)$ son $(8,209)$, $(18,218)$ y $(28,227)$.

[Monazo]

Trataré de hacer la explicación lo más sencilla posible

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La idea del problema es darse cuenta que no es ni más ni menos una sucesión aritmética con diferencia $b-a$.

$a_1=a$
$a_2=b=a+(b-a)$
$a_3=2.a_2-a_1=2.a+2.(b-a)-a=a+2.(b-a)$
...
Nos queda la definición de la sucesión aritmética.
$a_n=a+(n-1).(b-a)$

Reemplazamos $n=11$

$a_{11}=a+10.(b-a)=2018$

Por lo tanto $10.(b-a)=2018-a$
Como el lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 10, entonces el lado derecho también debe serlo, por lo que no queda otra que el número de las unidades de $a$ sea $8$, y como $a\leq30$, las únicas soluciones son:
$a=8$ $b=209$
$a=18$ $b=218$
$a=28$ $b=227$

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/fKpNx-6Tg_E

[drynshock]

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Veamos el ejemplo,
134 - 87 = 47
181 - 134 = 47
228 - 181 = 47
...

Vemos como siempre aparece una distancia de 47, y esto se debe a que es una sucesión aritmética.
$a_n = a_1 + d(n-1)$
$a_11 = 2018$
$2018 = a_1 + d(11-1)$
$2018 = a_1 + 10d$

Como 2018 termina en 8 y d esta multiplicado por 10, no queda otro que $a_1$ termine en 8. Consideramos los casos $a_1 = 8, 18, 28$

$\frac{2018 - a_1}{10} = d$
$\frac{2018 - 8}{10} = d \Rightarrow d = 201$
$\frac{2018 - 18}{10} = d \Rightarrow d = 200$
$\frac{2018 - 28}{10} = d \Rightarrow d = 199$

Finalmente nos queda encontrar b el cual toma el valor de $a_2$:
$b = 8 + 10.201 \Rightarrow b = 209$
$b = 18 + 10.200 \Rightarrow b = 218$
$b = 28 + 10.199 \Rightarrow b = 227$