Zonal N3 P1 2018

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Joacoini

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Zonal N3 P1 2018

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 28 Jun, 2018 10:40 pm

Fausto escribe una lista de $11$ números enteros positivos con el siguiente procedimiento: elige el primer número $a$ y el segundo número $b$ y, a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número escrito multiplicado por $2$ menos el penúltimo número escrito.
Por ejemplo, si $a=87$ y $b=134$, la sucesión comienza con $87, 134, 181, 228, 275, ... $.
Hallar todos los números enteros positivos $a$ y $b$, con $a\leq 30$ y tales que en el lugar número $11$ de la lista esté escrito $2018$.
Tetraedro inscripto en un paralelepípedo contiene un tercio del volumen de este.

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Gianni De Rico

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Re: Zonal N3 P1 2018

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 28 Jun, 2018 11:30 pm

Spoiler: mostrar
Ponemos $a=a_1$ y $b=a_2$. La lista de Fausto está definida por $a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$ para $n>2$
Vamos a demostrar por inducción fuerte que $a_n=(n-1)a_2-(n-2)a_1$. Para el caso base $a_3$ es cierto, pues $a_3=2a_2-a_1=(3-1)a_2-(3-2)a_1$
Supongamos como hipótesis inductiva que vale para todo $n\leqslant k$, veamos que vale para $k+1$
Por definición de la sucesión tenemos $a_{k+1}=2a_k-a_{k-1}\underset{HI}{=}2((k-1)a_2-(k-2)a_1)-((k-2)a_2-(k-3)a_1)=(2k-2)a_2+(-2k+4)a_1+(-k+2)a_2+(k-3)a_1=(2k-2-k+2)a_2+(-2k+4+k-3)a_1=ka_2+(-k+1)a_1=ka_2-(k-1)a_1=(k+1-1)a_2-(k+1-2)a_1$
La inducción está completa.

En particular tenemos $2018=a_{11}=10a_2-9a_1$
Además $a_1\equiv -9a_1\equiv 10a_2-9a_1\equiv 2018\equiv 8(10)$
Como $0<a\leqslant 30$ los posibles valores de $(a,b)$ son $(8,209)$, $(18,218)$ y $(28,227)$
[math]

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Matigelp97

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Re: Zonal N3 P1 2018

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Vie 29 Jun, 2018 9:51 am

Trataré de hacer la explicación lo más sencilla posible
Spoiler: mostrar
La idea del problema es darse cuenta que no es ni más ni menos una sucesión aritmética con diferencia $b-a$.

$a_1=a$
$a_2=b=a+(b-a)$
$a_3=2.a_2-a_1=2.a+2.(b-a)-a=a+2.(b-a)$
...
Nos queda la definición de la sucesión aritmética.
$a_n=a+(n-1).(b-a)$

Reemplazamos $n=11$

$a_{11}=a+10.(b-a)=2018$

Por lo tanto $10.(b-a)=2018-a$
Como el lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 10, entonces el lado derecho también debe serlo, por lo que no queda otra que el número de las unidades de $a$ sea $8$, y como $a\leq30$, las únicas soluciones son:
$a=8$ $b=209$
$a=18$ $b=218$
$a=28$ $b=227$


RESCATEMATEMATICO
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Re: Zonal N3 P1 2018

Mensaje sin leer por RESCATEMATEMATICO » Sab 30 Jun, 2018 8:33 pm


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