IMO 2008 - P4

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Gianni De Rico

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IMO 2008 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 12:25 pm

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ tales que $$\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$ para todos los números reales positivos $w$, $x$, $y$, $z$, que satisfacen $wx=yz$.
[math]

BrunZo

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Re: IMO 2008 - P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 05 May, 2019 6:15 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Sea $P(w,x,y,z)$ el hecho $\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$.
$P(1,1,1,1)\Longrightarrow \frac{2f(1)^2}{2f(1)}=1\Longrightarrow f(1)=1$.
$P(x,x,x,x)\Longrightarrow \frac{2f(x)^2}{2f(x^2)}=1\Longrightarrow f(x)^2=f(x^2)$.
$P(x,x,1,x^2)\Longrightarrow \frac{f(x)^2}{f(x)^4+1}=\frac{x^2}{x^4+1}\Longrightarrow x^4f(x)^2+f(x)^2=x^2f(x)^4+x^2\Longrightarrow\left(x^2-f(x)^2\right)\left(x^2f(x)^2-1\right)=0\Longrightarrow f(x)=x\lor f(x)=\frac{1}{x}$.
Ahora, sólo falta checkear que la soluciones sean únicamente $f(x)=x$ y $f(x)=\frac{1}{x}$ (o sea, que no están mezcladas):
Supongamos que $f(a)=a$ y $f(b)=\frac{1}{b}$ para $a$ y $b$ diferentes de $1$.
$P(1,ab,a,b)\Longrightarrow\frac{f(ab)^2+1}{a^2+\frac{1}{b^2}}=\frac{a^2b^2+1}{a^2+b^2}$.
Si $f(ab)=ab$, entonces $a^2+\frac{1}{b^2}=a^2+b^2\Longrightarrow b=1$. Absurdo.
Si $f(ab)=\frac{1}{ab}$, entonces $\frac{\frac{1}{a^2b^2}+1}{a^2+\frac{1}{b^2}}=\frac{a^2b^2+1}{a^2+b^2}\Longrightarrow \left(\frac{1}{a^2b^2}+1\right)\left(a^2+b^2\right)=\left(a^2b^2+1\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\Longrightarrow \frac{1}{a^2}+b^2=a^4b^2+a^2\Longrightarrow\frac{1}{a^2}(a^2b^2-1)(a^4-1)=0\Longrightarrow ab=1=f(ab)$.
Absurdo.
Luego, las únicas soluciones posibles son
  • $f(x)=x$
  • $f(x)=\frac{1}{x}$
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Ivan

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Re: IMO 2008 - P4

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 06 May, 2019 12:13 am

BrunZo escribió:
Dom 05 May, 2019 6:15 pm
Solución:
Nunca hay que olvidarse de verificar que las soluciones funcionan. Eso habitualmente vale 1 punto.
1  
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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