IMO 2003 - P5

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 3:45 pm

Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales tales que $x_1\leqslant x_2\leqslant \ldots \leqslant x_n$.
(a) Demostrar que $$\left (\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=1}^n|x_i-x_j|\right )^2\leqslant \frac{2(n^2-1)}{3}\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=1}^n(x_i-x_j)^2$$
(b) Demostrar que se cumple la igualdad si y sólo si $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ forman una progresión aritmética.
[math]

juandodyk
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Re: IMO 2003 - P5

Mensaje sin leer por juandodyk » Jue 26 Jul, 2018 2:57 am

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Hacemos Cauchy-Schwarz con las secuencias $(x_j-x_i)_{1\leqq i<j\leqq n}$ y $(j-i)_{1\leqq i<j\leqq n}$, lo que da $$\sum_{i<j} (j-i)^2 \sum_{i<j} (x_j-x_i)^2 \geqq \left(\sum_{i<j} (j-i)(x_j-x_i)\right)^2.$$
Ahora $$\sum_{i<j} (j-i)^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^{j-1} (j-i)^2 = \sum_{j=1}^n [1^2+\cdots+(j-1)^2] = \frac{n^2(n^2-1)}{12}$$ por inducción. Y $$\sum_{i<j} (j-i)(x_j-x_i) = \sum_{i=1}^n [1+\cdots+(i-1)-1-\cdots-(n-i)]x_i =$$ $$=\sum_{i=1}^n \frac12[(n-i)(n-i+1)-(i-1)i]x_i = \sum_{i=1}^n \frac{n(2i-n-1)}{2}x_i.$$
Entonces tenemos $$\frac{n^2(n^2-1)}{12} \sum_{i<j} (x_j-x_i)^2 \geqq \left(\sum_{i=1}^n \frac{n(2i-n-1)}{2}x_i\right)^2,$$ es decir, $$\frac{n^2-1}{3} \sum_{i<j} (x_j-x_i)^2 \geqq \left(\sum_{i=1}^n (2i-n-1)x_i\right)^2.$$
Ahora $$\sum_{i<j}(x_j-x_i) = \sum_{i=1}^n (2n-i-1)x_i,$$ así que $$\left (\sum_{i<j}|x_i-x_j|\right )^2\leqq \frac{n^2-1}{3}\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2,$$
que es obviamente equivalente a lo que hay que demostrar. Notar que la igualdad se da si y sólo si hay igualdad en el Cauchy-Schwarz usado, esto es, si y sólo si $(x_j-x_i)_{1\leqq i<j\leqq n}$ y $(j-i)_{1\leqq i<j\leqq n}$ son proporcionales, que claramente equivale a que los $x_1, \ldots, x_n$ forman una progresión aritmética.

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