Ibero 2005 - P1

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 5:16 pm

Determinar todos los tríos de números reales $(x,y,z)$ tales que $$xyz=8$$$$x^2y+y^2z+z^2x=73$$$$x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=98$$
[math]

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Re: Ibero 2005 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 5:46 pm

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Tenemos $x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x-6xyz$, luego $98=xy^2+yz^2+zx^2+73-6\times 8\Rightarrow xy^z+yz^2+zx^2=73=x^2y+y^2z+z^2x$, por lo tanto $(x-y)(y-z)(z-x)=xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x=0$ de donde al menos dos de entre $x,y,z$ son iguales.
Veamos que no puede ser $x=y=z$, en efecto, supongamos lo contrario, luego $xyz=x^2y=y^2z=z^2x=x^3$ y $73=3x^3=3\times 8$, que claramente es falso. Este absurdo provino de suponer $x=y=z$, luego, esto no puede ocurrir.
Pongamos WLOG $x=y$, luego $x^2z=8$ (*) entonces $x^4z^2=64\Rightarrow xz^2=\frac{64}{x^3}$ y nuevamente por (*) tenemos $x^3+xz^2+8=73\Rightarrow x^3+xz^2-65=0$, combinando los dos resultados queda $x^3+\frac{64}{x^3}-65=0$, que es lo mismo que $(x^3)^2-65x^3+64=0$. Las soluciones de esta cuadrática son $x^3=64\Rightarrow x=4$ y $x^3=1\Rightarrow x=1$. Luego, los únicos tríos $(x,y,z)$ que cumplen son $(4,4,\frac{1}{2})$ y $(1,1,8)$ con sus permutaciones cíclicas.
[math]

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