Ibero 2004 - P4

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Gianni De Rico

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Ibero 2004 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 10:30 pm

Determinar todos los pares de enteros positivos $(a,b)$, cada uno de dos dígitos, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son ambos cuadrados perfectos.
[math]

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Joacoini

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Re: Ibero 2004 - P4

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 05 Ago, 2018 2:55 am

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$100a+b=c^2$(1) y $201a+b=d^2$(2)
Como $a$ y $b$ tienen 2 dígitos.
$1010\leq c^2\leq 9999\Rightarrow 32\leq c\leq 99$
$2020\leq d^2\leq 19998\Rightarrow 44\leq d\leq 141$

$201a+b-100a-b=101a=d^2-c^2=(d+c)(d-c)$

Si $101$ divide a $d-c$ entonces $d+c$ divide a $a$ entonces $101\leq d-c\leq d+c\leq a$ pero a tiene 2 dígitos, contradicción y asumimos que $101$ divide a $d+c$.
$d+c\leq 99+141=240$ por lo que $d+c$ es $101$ o $202$.

Caso 1:$d+c=101$

$a=d-c\Rightarrow a+c=d$
Remplazamos en (2)
$201a+b=(a+c)^2=a^2+2ac+c^2\Rightarrow 100a+b=c^2=a^2+2ac+c^2-101a\Rightarrow 0=a^2+2ac-101a\Rightarrow 101=a+2c\Rightarrow 101-2c=a$

Remplazamos en (1)
$100×101-200c+b=c^2\Rightarrow b=c^2+200c-10100$

Como $b$ tiene 2 dígitos.
$10\leq c^2+200c-10100\leq 99\Rightarrow 10110\leq c^2+200c\leq 10199$

Jugando con la aproximación de $c$ que teníamos antes sacamos que el único valor es $c=42$, luego $a=17$, $b=64$ y $d=59$

Caso 2:$d+c=202$

$a=2d-2c\Rightarrow a+2c=2d\Rightarrow \frac{a}{2}+c=d$
Remplazamos en (2)
$201a+b=(\frac{a}{2}+c)^2=\frac{a^2}{2
4}+ac+c^2\Rightarrow 100a+b=c^2=\frac{a^2}{4}+ac+c^2-101a\Rightarrow 0=\frac{a^2}{2}+ac-101a\Rightarrow 101=\frac{a}{4}+c\Rightarrow 404-4c=a$

Remplazamos en (1)
$100×404-400c+b=c^2\Rightarrow b=c^2+400c-40400$

Como $b$ tiene 2 dígitos.
$10\leq c^2+400c-40400\leq 99\Rightarrow 40410\leq c^2+400c\leq 40499$

Jugando con la aproximación de $c$ que teníamos antes nos damos cuenta que ningún valor cumple la desigualdad.

En conclusión el único par es $(17,64)$
NO HAY ANÁLISIS.

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Turko Arias

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Re: Ibero 2004 - P4

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 05 Ago, 2018 11:48 am


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