Entrenamiento Cono 2018 P6

[Matías]

Sea $n\geq 3$. Dado el polinomio $p(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_1x+a_0$ que tiene raíces $x_1$, $x_2$,$...$,$x_n$. Demostrar que para todo real $x$ mayor que las raíces del polinomio se cumple que
$$\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\geq\frac{a_{n-3}}{x}+\frac{a_{n-4}}{x^2}+...+\frac{a_0}{x^{n-2}}$$

[Fedex]

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Usando Vieta:
$-(x_1 + ... + x_n) = a_{n-1} = 0$
$x_1^2 + ... + x_n^2 = (x_1 + ... + x_n)^2 - 2 \sum_{i<j} x_ix_j = -2a_{n-2}$
Luego el lado izquierdo de la desigualdad es $-a_{n-2}$.
Además el derecho es $\frac{p(x)}{x^{n-2}} - x^2 - a_{n-2}$.
Y todo junto es:
$-a_{n-2} \geq \frac{p(x)}{x^{n-2}} - x^2 - a_{n-2}$
$x^2 \geq \frac{p(x)}{x^{n-2}}$
Como $x > x_i$ tenemos $x-x_i > 0$ y $p(x) = (x-x_1)...(x-x_n) > 0$
Así que si $x^{n-2}$ es negativo el lado derecho es negativo y como $x^2 \geq 0$ estamos.
Si $x^{n-2}$ es positivo:
$x^n \geq p(x)$
Usando que $x-x_i > 0$ en $AM-GM$:
$\frac{x-x_1 + ... + x-x_n}{n} = \frac{nx - (x_1 + ... + x_n)}{n} = x \geq ((x-x_1)...(x-x_n))^{\frac{1}{n}}$
$x^n \geq p(x)$
Y estamos.