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Tenemos que $\exists a$,$b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$ y debemos demostrar:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$

Por esto, si cada término cumple esa desigualdad "particular", el "todo" también lo hará. Es decir, tenemos que suponer:
$\frac{a}{1+2b^3} \geq \frac{a^2}{3} \Rightarrow \frac{3}{1+2b^3} \geq a$
De este modo, planteándolo para los cuatro casos, tenemos:
$\frac{3}{1+2b^3} \geq a$; $\frac{3}{1+2c^3} \geq b$; $\frac{3}{1+2d^3} \geq c$; $\frac{3}{1+2a^3} \geq d$

Veamos si cumple. Tomemos el 1er caso, sin pérdida de generalidad. Ahora, tenemos que considerar 2 sub-casos: cuando $b=0$ y cuando $b \geq 0$. Por esto:
1) Si $b=0 \rightarrow 3 \geq a$, lo cual es cierto ya que $a+b+c+d=3$
2) Si $b \geq 0 \rightarrow 3 \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow a+b+c+d \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow b+c+d \geq -\frac{3}{2b^3} \Rightarrow$ Como $b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$, esta desigualdad vale.

Del mismo modo demostramos las otras desigualdades y obtenemos que la "desigualdad total" cumple.
Ahora, para ver el caso de igualdad tenemos que:
$3=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3}}$

Por esta razón, tendríamos $\frac{a}{1+2b^3}=a+\frac{a}{2b^3}$, siempre y cuando $b \geq 0$, en caso contrario queda solo $a$. De este modo:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq 3$
Y como la parte de arriba cumple:
$(a+b+c+d)^2 \geq a^2+b^2+c^2+d^2 \Rightarrow 9 \geq a^2+b^2+c^2+d^2$,
debemos maximizar el valor de arriba y minimizar el de abajo, obteniendo que el caso de igualdad únicamente se da cuando $a=3$ y $b=c=d=0$, sin pérdida de generalidad

HelcsnewsXD escribió: ↑Lun 04 May, 2020 11:39 am

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Tenemos que $\exists a$,$b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$ y debemos demostrar:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$

Por esto, si cada término cumple esa desigualdad "particular", el "todo" también lo hará. Es decir, tenemos que suponer:
$\frac{a}{1+2b^3} \geq \frac{a^2}{3} \Rightarrow \frac{3}{1+2b^3} \geq a$
De este modo, planteándolo para los cuatro casos, tenemos:
$\frac{3}{1+2b^3} \geq a$; $\frac{3}{1+2c^3} \geq b$; $\frac{3}{1+2d^3} \geq c$; $\frac{3}{1+2a^3} \geq d$

Veamos si cumple. Tomemos el 1er caso, sin pérdida de generalidad. Ahora, tenemos que considerar 2 sub-casos: cuando $b=0$ y cuando $b \geq 0$. Por esto:
1) Si $b=0 \rightarrow 3 \geq a$, lo cual es cierto ya que $a+b+c+d=3$
2) Si $b \geq 0 \rightarrow 3 \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow a+b+c+d \geq a-\frac{3}{2b^3} \Rightarrow b+c+d \geq -\frac{3}{2b^3} \Rightarrow$ Como $b$,$c$,$d \in \mathbb{R}^+_0$, esta desigualdad vale.

Del mismo modo demostramos las otras desigualdades y obtenemos que la "desigualdad total" cumple.
Ahora, para ver el caso de igualdad tenemos que:
$3=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3}}$

Por esta razón, tendríamos $\frac{a}{1+2b^3}=a+\frac{a}{2b^3}$, siempre y cuando $b \geq 0$, en caso contrario queda solo $a$. De este modo:
$\frac{a}{1+2b^3}+ \frac{b}{1+2c^3}+ \frac{c}{1+2d^3}+ \frac{d}{1+2a^3} \geq 3$
Y como la parte de arriba cumple:
$(a+b+c+d)^2 \geq a^2+b^2+c^2+d^2 \Rightarrow 9 \geq a^2+b^2+c^2+d^2$,
debemos maximizar el valor de arriba y minimizar el de abajo, obteniendo que el caso de igualdad únicamente se da cuando $a=3$ y $b=c=d=0$, sin pérdida de generalidad